En un planeta esférico de radio Rt/3 y masa Mt/2 se lanza una pelota con una velocidad de 100km/h y ángulo con la horizontal de 30º. Calcula la altura máxima que alcanzará, así como el alcance. Calcula la velocidad con la que llegará al suelo.

Dato: gt = 9,8m/s²

Solución:

Tenemos una pelota en un planeta que es lanzada con una cierta velocidad  formando un ángulo con la horizontal y por lo tanto, describirá un tiro parabólico, sometida a la aceleración que produce dicho planeta. El primer paso será calcular dicha aceleración:

g_P = GM_P/R_P²=G(M_T/2)/(R_T/3)² = (GM_T/R_T²).9/2 = 44,1 m/s²

La pelota describirá un tiro parabólico sometida a una aceleración de -44,1jm/s²

v=100km/h=27,78m/s

eje x: MRU
ax=0
Vx=27.78.cos30=24,06m/s
x=24,06t

eje y: MRUA
ay=-44,1m/s²
Vy=27,78.sen30 – 44,1t = 13,89 – 44,1t
y=13,89t – (44,1 / 2).t²

La altura máxima se alcanza cuando Vy=0 → 13,89 – 44,1t=0 → t=0,32s
Ymax=Y(0,32s) = 13,89.0,32 – (44,1 / 2).(0,32)²=2,19m

El alcance corresponde a Xmax, que se alcanza cuando Y=0 → 13,89t – (44,1 / 2).t² = 0 → t=0,63s
Xmax = 24,06.0,63 = 15,16m

La velocidad con la que la bala llega al suelo corresponde a la velocidad cuando Y=0, es decir, a los t=0,63s.
Vx=24,06m
Vy=Vy(0,63s) = 13,89 – 44,1.0,63 = -13,89 m/s
v = ( Vx, Vy) = ( 24,06 , -13,89 ) m/s

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Desde lo alto de una colina de 50m un tirador dispara un cañón con un ángulo de inclinación de 30º y una velocidad de 250km/h. Un tanque que huye de él se desplaza a una velocidad de 35km/h. ¿Dónde debía encontrarse el tanque para que el tiro sea acertado? ¿Con qué velocidad llega la bala al suelo?

Solución:

Posición del tanque cuando se lanza la bala: Xo=418,99m

Veliocidad de la bala al llegar al suelo: v=(60,14,  -46,72)m/s

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Un cazador ve acercarse una palama que vuela hacia él con una velocidad de 2m/s a una altura de 70m. En ese momento dispara a una velocidad de 50m/s formando un ángulo de 60º con la horizontal. Calcula la distancia a la que debe encontrarse la paloma para que el cazador dé en el blanco. Calcula la posición en la que se encuentra la paloma cuando es cazada y la velocidad que llevaba la bala.

Solución

Lo que queremos es encontrar el punto ( o los puntos ) en los que la trayectoria de la bala coincide con la de la paloma. Para ello escribimos las ecuaciones de su movimiento:
Paloma: MRU
a_p=0
v_p=-2m/s
x_p=x_o -2t
y_p=70m

Bala: Tiro parabólico
eje x: MRU
a_Bx=0
v_Bx=50.cos60=25m/s
x_B=25t

---

eje y: MRUA
a_By=-9,8 m/s²
v_By=50.sen60-9,8t=43,30-9,8t
y_B=43,30t-9,8t²/2

---

Queremos que cuando y_B=70, x_B=x_p
70=43,30t-9,8t²/2
4,9t²-43,30t+70=0
t=(43,30±22,43)/9,8 → t=6,71s y t=2,13s

Obtenemos dos tiempos válidos, puesto que, como se ve en el dibujo, hay dos posiciones en las que las trayectorias de la bala y la paloma se cruzan, luego tendremos dos posiciones x_o de la paloma para las que se hará blanco.
1ª solución
t=6,71s
x_B=x_p → 25.6,71=x_o-2.6,71 → x_o=181,17m
2ª solución
t=2,13s
x_B=x_p → 25.2,13=x_o-2.2,13 → x_o=57,51m

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Un cañón está situado en lo alto de una colina cuya altura es de 300m. La bala es lanzada a una velocidad de 45 m/s y con una inclinación de 30º. ¿A qué distancia colisionará la bala con el suelo?¿Qué velocidad llevará la bala cuando se produzca la colisión (velocidad vectorial)?

Solución

Se trata de un movimiento parabólico.
Para estudiar el movimiento parabólico, descompondremos lo que ocurre en el eje X y en el eje Y:
eje X: MRU
a_x=0
v_x=v_o.cos30=45.cos30=38,97m/s
x=38,97.t

eje Y: MRUA
a_y=-9,8m/s²
v_y=v_o.sen30-9,8t=45.sen30-9,8t=22,5-9,8t
y=300+22,5t-9,8t²/2

---

La x_max se alcanza cuando y=0
300+22,5t-9,8t²/2=0
Resolvemos la ecuación de 2º grado para obtener t:
t=(22,5±79,91)/9,8=10,45s ( el tiempo negativo no tiene significado físico y por lo tanto lo desechamos )
x_max=38.97.10,45=407,24m

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Cuando un futbolista ensaya el lanzamiento de un penalti contra la portería, impulsa el balón con una velocidad de 90km/h con una inclinación de 15º. Si la altura de la portería es de 2,35m, determinar si el balón entrará por la puerta o pasará por encima del larguero, sabiendo que la portería tiene una altura de 2,35m y que se encuentra a 11m de la portería.

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Un cañón, situado en la cima de una montaña de 200m de altura forma un ángulo de 80º con la vertical y dispara una bala de 2kg a una velocidad de 900km/h. ¿A qué altura máxima sube? ¿Con qué velocidad llega al suelo?¿Cuánto tarda en caer?¿A qué distancia horizontal?
NOTA: recuerda que trabajas con magnitudes vectoriales

Solución

x(t=51,04)=43,41.51,04=2215,65m es el alcance
En el momento de llegar al suelo, la velocidad será:
v_x=43,41m/s
v_y=246,20-9,8.51,04=-253,99m/s
v=(43,41 , -253,99)m/s

Cuando se alcanza la altura máxima v_y=0
0=246,20-9,8t; t=246,20/9,8=25,12s
y_max=200+246,20.25,12-9,8.25,12²/2=3292,57m

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