Calcula los valores de m y n para que el siguiente polinomio tenga como raiz -2 y el resto de dividirlo entre x-1 sea 9. P(x)=mx⁴-2x³ + nx² + 4x + 16

Solución:

Aplicamos el teorema del resto que dice: El resto de dividir el polinomio P(x) entre x-a es igual a P(a).

Si -2 es una raiz de mi polinomio → P(-2)=0
Si el resto de dividirlo entre x-1 es 9 → P(1)=9

Tenemos 2 ecuaciones con dos incógnitas m y n
P(-2)=16m + 16 + 4n – 8 + 16 = 0
P(1)=m – 2 + n + 4 + 16 = 9

Simplificando y agrupando términos semejantes:
4m + n + 6 = 0
m + n + 9 = 0

Solución: m=1; n=-10

Calcula el resto de dividir P(x) entre Q(x), siendo P(x)=9x⁴ – 3x² + 2x +1 y Q(x)=3x-2

Solución

Podemos resolver utilizando Ruffini, realizando la operación de la división o bien utilizando el teorema del Resto.

Vamos a optar por esta última opción, pero deberemos realizar algunas modificaciones puesto que el teorema del resto dice: el resto de dividir el polinomio P(x) entre x-a es igual a P(a).

Como no tengo x-a, lo que tendré que hacer será buscar x-a sin que cambien mi división:

P(x):Q(x) = P(x)/3 : Q(x)/3 = (3x⁴ – x² + (2/3)x +1/3) : (x – 2/3)

Ahora sí lo tenemos expresado en forma adecuada para aplicar el teorema del resto:

Resto=3.(2/3)⁴ – (2/3)² + (2/3)(2/3) + 1/3 = 3.16/81 – 4/9 + 4/9 + 1/3 = (48+27)/81 =75/81

Solución: R=75/81

Enuncia el teorema del resto.
Calcula los valores de m y n para que el siguiente polinomio tenga como raíces 0 y -1: P(x)=mx⁴ + 6x³ + 11x² + 6x + n
Una vez hallados, factoriza el polinomio e indica el orden de cada raíz.

Solución

Teorema del resto: el resto de dividir el polinomio P(x) entre x-a es igual a P(a), es deicr, al valor del polinomio en x=a

Puesto que 0 y -1  tienen que ser raíces, aplicando el teorema del resto, se deduce que:

P(0)=0 → n=0

P(-1)=0 → m – 6 + 11 – 6 = 0 → m=1

Para factorizar el polinomio: P(x)=x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x=x(x³ + 6x² + 11x + 6), aplicamos Ruffini

Ya sabemos que -1 es una raíz:

LLegados a la ecuación de 2º grado, resolvemos: x² + 5x + 6 = 0 → x = (-5 ± (25-24)^1/2)/2 → x=-2 y x=-3

La factorización de P(x)=1.(x-0)(x+1)(x+2)(x+3)

Hay 4 raíces de orden 1: x=0, x=-1, x=-2 y x=-3

El polinomio P(x)=x³+mx²+nx+4 es divisible por x-1 y da el mismo resto al dividirlo entre x-2 que entre x-3. Calcula m y n

Calcula m y n para que la división P(x) = x³ – 2x² + mx + n entre x+3 sea exacta y entre x-1 dé de resto 28.

Solución

Calcula el valor de m en el polinomio P(x) = x³ – 6x + m, sabiendo que da de resto 7 al dividirlo por (x + 2).

Solución

Enuncia el teorema del resto.
Calcula los valores de m y n para que el siguiente polinomio tenga como raíces 0 y –1:
P(x) = mx⁴ + 6x³ + 11x² + 6x + n
Una vez hallados, factoriza el polinomio e indica el orden de cada raiz.

Solución

Si 0 y -1 tienen que ser raíces:
P(0)=0
P(-1)=0

P(0) = m(0)⁴+6(0)³+11(0)²+6(0) + n = 0
P(-1) = m(-1)⁴+6(-1)³+11(-1)²+6(-1) + n = 0

P(0)=n=0 → n=0
P(-1)=m-6+11-6+n=0 → m-1+n=0 → m-1+0=0 → m=1

b) Ahora tenemos que factorizar P(x) = x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x
Primero sacamos factor común de x : P(x) = x(x³ + 6x² + 11x + 6) → La primera raiz es x = 0 ( Ya lo dice el enunciado del ejercicio )
Además, por el enunciado del ejercicio sabemos que x=-1 es una raíz. Si aplicamos Ruffini:

Ahora resolvemos la ecuación de 2º grado: x² + 5x + 6 = 0
x = ( -5 ± √(5² -4.6.1) ) / 2 = ( -5 ± √(25 – 24) ) / 2 → x = (-5 ± 1) / 2 → x = (-5+1)/2 y x = (-5 – 1)/2 → x=-2 y x=-3 serán las otras 2 raíces
Puesto que cada raíz sólo aparece una vez el orden de cada raíz es 1

Calcula los valores de m y n para que P(x) = mx³ + nx² – 2x + 1 tenga como raíz -2 y dé resto 4 al dividirlo entre x+1

Solución