Sea un experimento aleatorio y A y B dos sucesos tales que p(A)=0,5; p(B)=0,4 y p(Ac∩Bc)=0,2. Determina si son dependientes o independientes.

Solución:

Según dice la teoría dos sucesos son independientes o no condicionados si:

p(A∩B)=p(A).p(B).

Debemos calcular p(A∩B) a partir de la información que nos dan en el enunciado.

p(Ac∩Bc) aplicando Morgan = p((AUB)c) = 1 -p(AUB) –> p(AUB)=0,8

Por definición: p(AUB)=p(A) + p(B) – p(A∩B) –> 0,8 = 0,5 + 0,4 – p(A∩B) –> p(A∩B) = 0,1

p(A).p(B)=0,5.0,4 ≠ 0,1 = p(A∩B) –> como no coinciden A y B son cuesos dependientes, es decir, la probabilidad de que ocurra B depende de que previamente haya ocurrido A.

Como consecuencia: p(B/A) ≠ p(B)

Se tiene el experimento aleatorio: tirar un dado no trucado.
Se tienen los siguientes sucesos:

A=”que salga par”
B=”que salga impar”
C=”que salga menor que 3”
D=”que salga mayor que 4”

1. Calcular la unión y la intersección de las posibles combinaciones de los 4 sucesos anteriores y determina sus probabilidades.

Solución:

Los posibles resultados serán: S={1,2,3,4,5,6}

Puesto que todos los sucesos son equiprobables, podemos aplicar Laplace:
p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

A={2,4,6}; P(A)=3/6=1/2
B={1,3,5}; P(B)=3/6=1/2
C={1,2}; p(C)=2/6=1/3
D={5,6}; p(D)=2/6=1/3

Calculamos la unión y la intersección de sucesos:

AUB={1,2,3,4,5,6}; p(AUB)=6/6=1
A∩B={Ø}; p(A∩B)=0
Dos sucesos que verifican que AUB=E y A∩B=Ø se dice que son sucesos contrarios. Puesto que la intersección es nula, son también incompatibles.
Podemos resolverlo también de este otro modo y comprobar que se obtienen los mismos resultados:
p(AUB)=p(A) + p(B) – p(A∩B) = 1/2 + 1/2 -0 = 1

AUC={1,2,4,6}; p(AUC)=4/6=2/3
A∩C={2}; p(A∩C)=1/6

AUD={2,4,5,6}; p(AUD)=4/6=2/3
A∩D={6}; p(A∩D)=1/6

BUC={1,2,3,5}; p(BUC)=4/6=2/3
B∩C={1}; p(B∩C)1/6

BUD={1,3,5,6}; p(BUD)=4/6=2/3
B∩D={5}; p(B∩D)=1/6

CUD={1,2,5,6}; p(CUD)=4/6
C∩D={Ø};p(C∩D)=0
Puesto que la intersección es nula, se trata de sucesos incompatibles.