La probabilidad de que tenga lugar un suceso A es 2/3, la del suceso B es 3/4 y la de que ocurran los dos a la vez es de 5/8. Halla la probabilidad de:

1. Que se verifique alguno de los dos sucesos
2. Que no ocurra B
3. Que no se verifique ninguno de los dos
4. Que sólo se verifique A

Solución:

Debemos escribir en lenguaje matemático lo que expresa el enunciado en lenguaje literario:

p(A)=2/3

p(B)=3/4

p(A∩B)=5/8  ( cuando tienen que ocurrir los 2 a la vez, hablamos de intersección )

1. Que se verifique alguno de los dos sucesos implica que ocurra uno o que ocurra el otro o que ocurran los dos. Eso es la unión.

p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A∩B) = 2/3 + 3/4 – 5/8 = (16 + 18 – 15) / 24 = 19/24

2. Que no ocurra B es el suceso contrario de B

p(B^c) = 1 – p(B) = 1 – 3/4 = 1/4

3.  Que no se verifique ninguno de los dos es que no ocurra A (A^c) y que no ocurra B (B^c). “Y” siempre implica intersección:

p(A^c∩B^c) → cuando tenemos dos contrarios, tenemos que aplicar Morgan.

p(A^c∩B^c)=p((AUB)^c) = 1 – p(AUB) = 1 – 19/24 = 5/24

4. Eso implica que se verifique A y que no se verique B → p(A∩B^c)

En este caso tenemos que aplicar el teorema de la probabilidad completa:

p(A) = p(A∩B) + p(A∩B^c); p(A∩B^c) = p(A) – p(A∩B) = 2/3 – 5/8 = (16-15)/24 = 1/24

Sea el experimento aleatorio: tirar un dado

Su espacio muestral será: E={1,2,3,4,5,6}

Sean los sucesos:

S1=”sacar un número negativo”

S2=”sacar un número entero”

S3=”sacar un número primo”

S4={4,6}

S1 es un suceso imposible, puesto que no ocurre nunca

S2 es un suceso cierto puesto que se verifica siempre: siempre que tiramos un dado, el resultado es un número entero.

S3 y S4 son sucesos contrarios puesto que verifican que:

S3 U S4 = E  y S3 ∩ S4 = 0

es decir, los sucesos elementales que están en uno no están en el otro y cuando ocurre uno no ocurre el otro y a la inversa.

Se tiene el experimento aleatorio: tirar un dado no trucado.
Se tienen los siguientes sucesos:

A=”que salga par”
B=”que salga impar”
C=”que salga menor que 3”
D=”que salga mayor que 4”

1. Calcular la unión y la intersección de las posibles combinaciones de los 4 sucesos anteriores y determina sus probabilidades.

Solución:

Los posibles resultados serán: S={1,2,3,4,5,6}

Puesto que todos los sucesos son equiprobables, podemos aplicar Laplace:
p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

A={2,4,6}; P(A)=3/6=1/2
B={1,3,5}; P(B)=3/6=1/2
C={1,2}; p(C)=2/6=1/3
D={5,6}; p(D)=2/6=1/3

Calculamos la unión y la intersección de sucesos:

AUB={1,2,3,4,5,6}; p(AUB)=6/6=1
A∩B={Ø}; p(A∩B)=0
Dos sucesos que verifican que AUB=E y A∩B=Ø se dice que son sucesos contrarios. Puesto que la intersección es nula, son también incompatibles.
Podemos resolverlo también de este otro modo y comprobar que se obtienen los mismos resultados:
p(AUB)=p(A) + p(B) – p(A∩B) = 1/2 + 1/2 -0 = 1

AUC={1,2,4,6}; p(AUC)=4/6=2/3
A∩C={2}; p(A∩C)=1/6

AUD={2,4,5,6}; p(AUD)=4/6=2/3
A∩D={6}; p(A∩D)=1/6

BUC={1,2,3,5}; p(BUC)=4/6=2/3
B∩C={1}; p(B∩C)1/6

BUD={1,3,5,6}; p(BUD)=4/6=2/3
B∩D={5}; p(B∩D)=1/6

CUD={1,2,5,6}; p(CUD)=4/6
C∩D={Ø};p(C∩D)=0
Puesto que la intersección es nula, se trata de sucesos incompatibles.