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Sistema de ecuaciones

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Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones según el método de Gauss. ¿Cómo es el sistema?
x – y + 3z = 3
x + 2y – z = 2
x + y + 2z = 4

Solución

1º paso: Quitamos la x de (2) y de (3)
(1) – (2) → -3y + 4z = 1
(1) – (3) → -2y + z = -1
El sistema queda:
x – y + 3z = 3
-3y + 4z = 1
-2y + z = -1
2º paso: Quitamos la z de (3)
(2) – 4(3) → 5y=5
El sistema queda:
x – y + 3z = 3
-3y + 4z = 1
5y=5
Ya hemos triangulado el sistema. Ahora empezamos a resolver de la última a la 1ª
5y=5 → y=5/5; y=1
-3y+4z=1 → -3.1+4z=1 → -3+4z=1 → 4z=4 → z=1
x-y+3z=3 → x-1+3.1=3 → x+2=3 → x=1
La solución es única, luego se trata de un Sistema Compatible Determinado

Solución: x=1, y=1, z=1

Sistemas de ecuaciones

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Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
3x+4y = -5
2x-y = 4
b)
x+y-z=0
x-y+z=2
2x+y-4z=-8
c)
x-y=0
x2+y2=18
d)
x+y=4
xy=3

Solución

a) Se trata de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas. La solución será una pareja de valores x e y.
Podemos resolverlo bien por el método de sustitución, bien por el método de reducción. En este caso, vamos a hacerlo por los dos métodos. Comprobaremos que independientemente del método seleccionado, el resultado tiene que ser el mismo.
método de sustitución
3x+4y = -5
2x-y = 4 → Despejamos y → y = 2x – 4 → Sustituimos y en la 1ª ecuación
3x + 4(2x-4) = -5 → 3x + 8x – 16 = -5 → 11x -16 = -5 → 11x=-5+16 → 11x = 11 → x=11/11 → x=1
Sustituimos el valor de x en la expresión de y:
y = 2x – 4; y=2.1 – 4; y=2-4; y=-2

Solución: x=1, y=-2

método de reducción
3x+4y = -5
2x-y = 4
Para resolver vamos a eliminar la y. Para ello haremos (1ª ecuación) + 4.(2ª ecuación)
3x+4y=-5
8x-4y=16 → (1) + 4(2): 11x=11; x=11/11; x=1
Sustituimos en la 1ª ecuación para obtener el valor de y: 3.1+4y=-5; 3+4y=-5
4y=-5-3; 4y=-8; y=-8/4; y=-2

Solución: x=1, y=-2

Independientemente del método utilizado, la solución es la misma.

b) Se trata de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. La solución será una terna de valores x,y,z.
Para resolver, utilizaremos el método de Gauss que consiste en realizar operaciones con las ecuaciones de modo que obtengamos un sistema equivalente con una ecuación con 3 incógnitas, una ecuación con 2 incógnitas y una ecuación con 1 incógnita.
x+y-z=0
x-y+z=2
2x+y-4z=-8
1º paso: fijamos la primera ecuación y trabajando con (1) y (2) y con (1) y (3) quitaremos la misma incógnita de las ecuaciones (2) y (3).
Vamos a quitar la x →
(1)-(2) → 2y-2z=-2
2(1)-(3) → y+2z=8

El sistema queda como:
x+y-z=0
2y-2z=-2
y+2z=8
2ºpaso: fijamos la 1ª y la 2ª ecuación y trabajamos con (2) y con (3) para quitar una incógnita. Vamos a quitar la z:
(2)+(3) → 3y=6

El sistema queda:
x+y-z=0
2y-2z=-2
3y=6
Una vez que hemos triangulado el sistema, vamos resolviendo de abajo a arriba:
3y=6 → y=6/3; y=2
2y-2z=-2 → 2.2-2z=-2; 4-2z=-2; -2z=-2-4; -2z=-6; z=-6/-2; z=3
x+y-z=0 → x+2-3=0; x-1=0; x=1

Solución: x=1, y=2, z=3Sistema Compatible Determinado

c) Se trata de un sistema de 2 ecuaciones no lineales con 2 incógnitas. Este tipo de sistemas hay que resolverlos siempre por sustitución. Despejamos una incógnita de la ecuación más sencilla y sustituimos en la otra:

x2+y2=18
x-y=0 → x=y
y2 + y2 = 18 → 2y2 = 18 → y2=18/2 → y2=9 → y=√9 → y=3 e y=-3 ← Para cada solución de y, obtenemos el valor de x
si y=3 → x=y=3 → 1ª Solución: x=3, y=3
si y=-3 → x=y=-3 → 2ª Solución: x=-3, y=-3
Se trata de un sistema compatilbe indeterminado puesto que tiene más de 1 solución

Soluciones: 1ª solución: x=3, y=3 2ª solución: x=-3, y=-3

d) Se trata de un sistema de 2 ecuaciones no lineales con 2 incógnitas. Este tipo de sistemas hay que resolverlos siempre por sustitución. Despejamos una incógnita de la ecuación más sencilla y sustituimos en la otra:

x+y=4 → x=4-y
xy=3
(4-y).y=3 → 4y – y2 = 3 → y2 -4y + 3 = 0 Resolvemos la ecuación de 2º grado.
y=(4±√(16-12))/2=(4±√4)/2=(4±2)/2 → y=(4+2)/2 e y=(4-2)/2 → y=3 e y=1
Para cada valor de y, encontramos el valor de x
si y=3 → x=4-y=4-3=1 → x=1 → 1ª Solución: x=1, y=3
si y=1 → x=4-y=4-1=3 → x=3 → 2ª Solución: x=3, y=1
Se trata de un sistema compatilbe indeterminado puesto que tiene más de 1 solución

Soluciones: 1ª solución: x=1, y=3 2ª solución: x=3, y=1

Sistemas de ecuaciones

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Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
2x-3y+z=0
x+2y-2z=1
3x-y+3z=5

x2-2y2=1
xy-x=3

Solución

a) Se trata de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas que resolveremos por el método de Gauss. El método de Gauss pretender encontrar un sistema equivalente triangulado, es decir, con una ecuación con 3 incógnitas, otra con 2 y otra con 1, que iremos resolviendo de abajo a arriba.
Lo haremos en 2 pasos:
1º paso: fijamos la 1ª ecuación y trabajamos con (1) y (2) y con (1) y (3) para quitar una incógnita.
Quitamos la z:
2(1)+(2) → 5x – 4y = 1
3(1)-(3) → 3x – 8y = -5
El sistema queda:
2x-3y+z=0
5x – 4y = 1
3x – 8y = -5
2º paso: fijamos la 1ª y la 2ª ecuación y trabajamos con (2) y con (3) para quitar una incógnita. Quitamos la x, por ejemplo:
3(2) – 5(3) → 28y = 28
El sistema queda triangulado:
2x-3y+z=0
5x – 4y = 1
28y = 28
Resolvemos de abajo a arriba
28y=28 → y = 28/28 → y=1
5x-4y=1 → 5x – 4.1 = 1 → 5x – 4 = 1 → 5x = 1+ 4 → 5x = 5 → x = 5/5 → x=1
2x-3y+z=0 → 2.1 – 3.1 + z = 0 → 2 – 3 + z = 0 → -1 + z = 0 → z=1

Solución: x=1, y=1, z=1

b) Se trata de un sistema de 2 ecuaciones no lineales con 2 incógnitas. Este tipo de sistemas hay que resolverlos por sustitución. Despejaremos una incógnita de la ecuación más sencilla:
x2-2y2=1
xy-x=3 → Sacamos factor común de x para poder despejar: x(y-1)=3 → Despejamos x → x = 3/(y-1)
Sustituimos x en la 1ª ecuación: (3/(y-1))2 – 2y2 = 1 → Elevamos al cuadrado el paréntesis
32/(y-1)2 – 2y2 = 1 → 9/(y2 + 1 -2y) – 2y2 = 1 → ponemos común denominador
9 – 2y2(y2 + 1 – 2y) = 1(y2 + 1 – 2y) → Quitamos los paréntesis
9 – 2y4 – 2y2 + 4y3 = y2 + 1 – 2y → Pasamos todo al lado derecho y agrupamos términos semejantes → 2y4 -4y3+3y2 – 2y – 8 = 0 → Tenemos una ecuación polinómica de grado 4 que debemos resolver por Ruffini: ” Si un polinomio tiene raíces enteras estas serán divisores del término independiente”
Las posibles raíces enteras serán ±1, ±2, ±4, ±8

  2 -4 3 -2 -8
2   4 0 6 8
  2 0 3 4 0

La primera solución será y=2
Nos queda un polinomio de 3º grado cuyo término independiente es 4. Volvemos a aplicar Ruffini.
Las posibles raíces enteras serán ±1, ±2, ±4
Comprobamos que ninguna es raíz, de modo que sólo tenemos una solución: y=2
Despejamos x:
si y=2 → x=3/(y-1) = 3/(2-1) = 3/1 = 3
La única solución entera que hay será: x=3, y=1

Solución: x=3, y=1

Sistema de ecuaciones-J2009A1

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Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real k:

x + y + zk = 4

2x – y + 2z = 5

-x + 3y – z = 0

a) Discutir el sistema para los distintos valores de k

b) Resolver el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones

c) Resolver el sistema para k=0

Solución:

a) Si k≠1 → lAl≠0 → ran(A)=ran(A*)=3 → S.C.D.

Si k=1 → lAl=0 → ran(A)=ran(A*)=2 → S.C.I.

b) Para k=1 S.C.I. → hay que resolver parametrizando

Soluciones: para cualquier valor de a€R Soluciones: x=3-a, y=1, z=a

c) Para k=o S.C.D. Solución: x=3, y=1, z=0

Discusiónde sistemas-J2005A1

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Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro k:

2x – 3y + z = 0

x – ky – 3z = 0

5x + 2y – z = 0

a) Discutir el sistema para los distintos valores de k

b) Resolver cuando sea posible

Solución:

a) Si k≠8 → lAl≠0 → ran(A)=ran(A*)=3 → S.C.D.

Si k=8 → lAl=0 → ran(A)=ran(A*)=2 → S.C.I.

b) El sistema siempre tiene solución. Además, es un sistema homogéneo, puesto que la matriz de término independiente es la matriz 0, por lo que cuando el sistema sea S.C.D. la solución será: x=0, y=0, z=0

√ k € R con k≠8; Solución: x=0, y=0, z=0

k=8 S.C.I. → hay que parametrizar:

√ a € R: Soluciones: x=a, y=7a, z=19a