Una madre y sus dos hijos tienen en conjunto 60 años; el hijo mayor tiene tres veces la edad del menor y la madre tiene el doble de la suma de las edades de sus hijos. Calcula las edades de la madre y de los dos hijos.

Solución:

Tenemos 3 incógnitas:

x: edad de la madre
y: edad del hijo mayor
z: edad del hijo menor

Estas incógnitas están relacionadas por una serie de ecuaciones:
x + y + z = 60
y = 3z
x = 2(x+y)

Con las 3 ecuaciones que relacionan las 3 incógnitas, resolvemos el sistema:

Solución: x=40años, y=15 años, z = 5 años

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y di de qué tipo son:

Solución:

a) Utilizamos el método de Gauss:

x+2y+4z=3
7y+10z=3
5y=-5

Solución: S.C.D. x=1, y=-1, z=1

b) Se trata de un sistema de ecuaciones no lineales, que deberemos resolver por sustitución:

x²-y²=9
x.y=20 → y=20/x; x²-(20/x)²=9; x²-400/x²=9; x⁴-400 = 9x²;

Nos queda una ecuación bicuadrada que resolvemos por cambio de variable: x²=z

z²-9z-400=0; Resolvemos la ecuación de 2º grado: z=(9±(81+1600)^1/2)/2 = (9±41)/2; z=25, z=-16

Deshacemos el cambio de variable:

Si z=25;x²=25; x=5, x=-5

Si z=-16; x²=-16; no tiene solución

Si x=5; y=20/5=4

Si x=-5; y=20/-5=-4

Solución: S.C.I: solución 1: x=5, y=4; solución 2: x=-5 y=-4

Una madre y sus dos hijos tienen en conjunto 60 años; el hijo mayor tiene 3 veces la edad del menor y la madre tiene el doble de la suma de las edades de sus hijos. Calcula las edades de la madre y de los dos hijos.

Solución:

Tenemos 3 incógnitas:
x=edad de la madre
y= edad del hijo mayor
z= edad del hijo menor

Las condiciones que deben cumplir son las siguientes:
x + y + z = 60
y=3z
x = 2(x+y)

Resolvemos el sistema: Solución: x=40años, y=15años, z= 5años

Discute y resuelve, cuando sea posible, el siguiente sistema:
2x – 3y + kz = 3
x – 2y + 3z = k-1
(k-2)x -y + 4z = -1

Solución:

a) Discusión del sistema.
Discutiremos el sistema utilizando el método de Rouché, que dice lo siguiente:
Sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz ampliada, es decir, la matriz de coeficientes a la que se le ha añadido la columna de término independiente:

si rango(A)=rango(A*) → El sistema es compatible

Si además rango(A)=rango(A*)= nº de incógnitas → sistema compatible determinado

Si rango(A)=rango(A*) < nº incógnitas → sistema compatible indeterminado

Si rango(A)≠rango(A*) → sistema incompatible

|A|=2k²-14k+20=2(k-5)(k-2)

|A|=0 → k=5, k=2

√ k  R € R, k≠5, k≠2 →rango(A)=rango(A*)=3→ S.C.D.

Hemos de estudiar los casos particulares de k=5 y k=2 para ver cómo es el sistema

k=2

Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de 0:

|2 -3|
|1 -2| = -4 -3 = -7 ≠ 0 → rango(A)=2

Buscamos si el rango de A* es 3, trabajando con menores de orden 3:

Cogemos 2ª, 3ª y 4ª columna:

Probamos con los menores que se obtienen con las columnas 1, 2 y 4 y con las columnas 1,3 y 4 y vemos que todos los menores son 0 → rango(A*)=2

si k=2 rango(A)=rango(A*)=2→ S.C.I.

si k=5

Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de 0:

|2 -3|
|1 -2| = -4 -3 = -7 ≠ 0 → rango(A)=2

Buscamos si el rango de A* es 3, trabajando con menores de orden 3:

Cogemos 2ª, 3ª y 4ª columna:

→ rango(A*)=3≠rango(A)=2 → si k=5  S.I.

b) El sistema tendrá solución siempre que sea compatible.

Para k=2 hemos de resolver por parametrización pues se trata de un S.C.I.

Resolvemos por Gauss:

2x – 3y + 2z = 3
x – 2y + 3z = 1
-y + 4z = -1

2x – 3y + 2z = 3
y – 4z = 1
-y + 4z = -1

Si z=λ → y= 1 + 4λ, x=3+5λ

Solución: si k=2, √ λ€R: x=3+5λ, y=1 + 4λ, z=λ → ∞ soluciones

k≠2 y k≠5 → S.C.D.

Solución única para cada sistema. Resolvemos por Cramer.

x=lAxl/lAl;

y=lAyl/lAl;

z=lAzl/lAl

Solución: √ k≠2 y k≠5 cada sistema tendrá una única solución: x=(-k²+11k-18)/(2k²-14k+20)
y=(-k³+3k²+14k-32)/(2k²-14k+20)
z=(-3k²+17k-22)/(2k²-14k+20)

Una empresa instala casas prefabricadas de tres tipos A, B y C. Cada casa de tipo A necesita 10horas de albañilería, 2 de fontanería y 2 de electricista. Cada casa de tipo B necesita 15horas de albañilería, 4 de fontanería y 3 de electricista. Cada casa de tipo C necesita 20 horas de albañilería, 6 de fontanería y 5 de electricista. La empresa emplea exactamente 270 horas de trabajo al mes de albañilería, 68 de fontanería y 58 de electricista. ¿Cuántas casas de cada tipo instala la empresa en un mes?

Solución:

A: x
B: y
C: z

10x + 15y + 20z = 270
2x + 4y + 6z = 68
2x + 3y + 5z = 58

Solución: x=10, y=6, z=4

Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4% en un cierto producto A, un 6% en el producto B y un 5% en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10% sobre el precio inicial de B y un 6% sobre el precio inicial de C. Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos B y tres C, se ahorra 16€ respecto al precio inicial. Si compra tres productos A, uno B y cinco C en la segunda oferta, el ahorro es de 29€. Si compra un prodcuto A, uno B y uno C, ningún tipo de descuento, debe abonar 135€. Calcula el precio de cada producto antes de la oferta.

Solución:

A: x
B: y
C: z

(4/100)x + (6/100).2y + (5/100).3z =16
(8/100).3x + (10/100).y + (6/100).5z = 29
x+y+z=135

Solución: x=25€, y=50€, z=60€

Un hotel adquirió un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones, gastando para ello un total de 7500€. El precio de una almohada es de 16€, el de una manta de 50€ y el de un edredón, 80€. Además, el número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el de edredones. ¿Cuántas almohadas, mantas y edredones ha comprado el hotel?

Solución:

almohadas: x
mantas: y
edredones: z

x + y + z = 200
16x + 50y + 80z = 7500
x = y + z

Solución: x=100, y 70, z=30

Un agricultor tiene repartidas sus 10 hectáreas de terreno en barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hectáreas más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada. ¿Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuántas en barbecho?

Solución:

Barbecho: x
Trigo: y
Cebada: z

x+y+z=10
y-z=2
x=y+z-6

Solución: x=2, y=5, z=3

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones indicando de qué tipo son:

Solución

a) Lo primero que debemos hacer es eliminar los denominadores, poniendo común denominador:

60-12x+3x=30x-6x² → 2x² -13x + 20 = 0; x=(13±3)/4; x=4 y x=5/2

Si x=4 → y=30-6.4=6

Si x=5/2 → y=30 -6.5/2=15

Se trata de un sistema con dos soluciones: x=4, y=6 y x=5/2, y=15

b) Desarrollamos los paréntesis y quitamos los denominadores:

Sistema de ecuaciones lineales. Podemos resolver por sustitución o por reducción.
Si lo hacemos por reducción: F1+4F2 → 7x=14 → x=2; Sustituyendo en la 1ª ecuación: -5.2 + 8y= -34 ; y=-3

Es un S.C.D. Solución: x=2, y=-3

¿Qué edad tienen un padre y un hijo si se sabe que hace 5 años la edad del padre era triple que la del hijo y que hace 10 años la diferencia del cuadrado de la edad del padre y el cuadrado de la edad del hijo era 40 veces la edad del hijo hoy?
Dato: √625 = 25

Solución