Monotonía, recta tangente y área.-J2009B2

Se considera la función real de variable real definida por: f(x) = (x2-1)2

a) Determina los extremos relativos de f(x).
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x=3.
c) Calcula el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f(x) y el eje OX.

Solución:

a) Para estudiar los extremos relativos ( máximos y minímos ) debemos calcular la derivada de la función:
f’(x)=2.(x2-1).2x= 4x.(x2-1)
Calculamos los ceros de la derivada:
f’(x)=0; 4x.(x2-1)=0; x=0 y x2-1=0; x=0, x=1, x=-1

Tenemos 3 posibles extremos relativos. Para ver si son máximos o mínimos podemos hacer 2 cosas:
* estudiar el signo de f’(x) en torno a esos puntos
* estudiar el signo de f”(x)

En este caso lo haremos del 2º modo:
f”(x)=12x2-4
f”(x=0)=-4 < 0 –> x=0 es un máximo
f”(x=-1)=8 >0 –> x=-1 es un mínimo
f”(x=1)=8 >0 –> x=1 es un mínimo

f(o)=1; (0,1) ES UN MÁXIMO
f(-1)=0; (-1,0) ES UN MÍNIMO
f(1)=0; (1,0) ES UN MÍNIMO

b) La ecuación de la recta tangente es: y=mx+n
La recta tangente debe cumplir 2 condiciones:
* La tangente de la recta y de f(x) en dicho punto x=3 debe ser la misma:
m=f’(x=3); m=4.3(9-1)=96

* La recta tangente debe pasar por el punto (x=3,f(x=3)): (3, 64)
64=96.3-n –> n=-224

La ecuación de la recta tangente será: y=96x-224

c) Representamos la función para ver el recinto al que hace referencia:

El área que nos piden será la que queda encerrada entre x=-1 y x=1

A=∫-11 (x2-1)2 dx= F(1) – F(-1)
Para hacer la integral de manera mas sencilla, desarrollamos el cuadrado, para que nos quede un polinomio:
(x2-1)2 =x4-2x2+1
F(x) = ∫(x4-2x2+1)dx=x5/5-2x3/3-x
F(1)=1/5 -2/3 -1
F(-1)= 1/5 + 2/3 +1

A=F(1) – F(-1) = 16/15 u2

Tangente.-S1998B2

Hállense las rectas tangentes a la curva f(x) = x3 – 3x2 + 8 que sean paralelas a la recta y = 9x + 4

Solución

Para que dos rectas sean paralelas, deben tener la misma pendiente. La recta y = 9x + 4 tiene pendiente m=9. Tenemos que buscar todos los puntos de f(x) = x3 – 3x2 + 8 cuya pendiente sea 9, es decir, todos los puntos cuya derivada sea igual a 9.

Lo primero que hacemos es derivar la función:

f´(x) = 3x2 – 6x

Sabemos que la pendiente de la recta tangente en un punto coincide con su derivada. Calculamos f´(x) = 9:
3x2 – 6x = 9
3x2 – 6x – 9 = 0
x = (6 + ( 36 + 9·3.4 )1/2))/2.3 = (6 + 12)/6
Tenemos 2 valores de x posibles:
x1 = 18/6 = 3
x2 = -6/6 = -1
Los puntos de f(x) donde la tangente vale m=9 son:
P1 –> x=3, f(x) = 8
P2 –> x=-1, f(x) = 4

La recta tangente en P1 será:
y = 9x + b
Para calcular b sabemos que la recta debe pasar por P1 –>
8 = 9.3 + b –> b = 8-27 = -19
Solución: y = 9x – 19

La recta tangente en P2 será:
y = 9x + b
Para calcular b sabemos que la recta debe pasar por P2 –>
4 = 9.(-1) + b –> b = 4 + 9 = 13
Solución: y = 9x + 13

Representación de función polinómica

Sea la siguiente función: f(x) = 3x4+4x3-12x2+2. Determina: a) Dominio b) Monotonía de la función c) Representación gráfica d) Tangente de la gráfica en el punto x=-1

Solución

  • DOMINIO

Puesto que se trata de un polinomio Dom f(x)={x∈R}

  • MONOTONÍA
    • Calculamos la derivada:

f’(x)=12x3+12x2-24x

    • Igualamos la derivada a 0 para encontrar los posibles extremos relativos.

f’(x)=0 → 12x3+12x2-24x=0 → x(12x2+12x-24)=0
x=0
12x2+12x-24=0 → x2+x-2=0 → x=1, x=-2
Posibles extremos relativos: x=0, x=1, x=-2

    • Dividimos la recta real en intervalos teniendo en cuenta los extremos relativos y estudiamos el signo de la derivada:

(-∞,-2) f’(x)<0 → f(x) es DECRECIENTE en este intervalo
(-2,0) f’(x)>0 → f(x) es CRECIENTE en este intervalo
(0,1) f’(x)<0 → f(x) es DECRECIENTE en este intervalo
(1,+∞) f’(x)>0 → f(x) es CRECIENTE en este intervalo

Como en torno a x=-2 la monotonía pasa de decreciente a creciente, este punto es un MÍNIMO. f(-2)=-30
Como en torno a x=0 la monotonía pasa de creciente a decreciente, este punto es un MÁXIMO. f(0)=2
Como en torno a x=1 la monotonía pasa de decreciente a creciente, este punto es un MÍNIMO. f(1)=-3

MÍNIMOS: (-2,-30) y (1,-3) MÁXIMO: (0,2)
  • REPRESENTACIÓN GRÁFICA

  • TANGENTE EN EL PUNTO DE COORDENADA x=-1
  • Obtenemos el punto donde queremos calcular la tangente

x=-1, f(-1)=12(-1)3+12(-1)2-24(-1)=-11 → punto (-1,-11)
La recta tangente tendrá como ecuación y=mx+n y debe cumplir que:

  • m=f’(x=-1)
  • y=mx+n pasa por el punto (-1,-11), es decir -11=m.(-1) + n

m=12(-1)3+12(-1)2-24(-1)=24
-11=24.(-1)+n → n=13

Recta tangente: y=24x+13

Tangente a una curva en un punto

Para f(x) = x3-4x+2, calcula la ecuación de la recta tangente en el punto x=1

Solución

La recta tangente a una función en un punto x=a es aquella que verifica que tiene la misma pendiente que la función en dicho punto y que pasa por el punto (x=a, f(a)). Su ecuación será: y=mx+n, siendo

  • m=f’(a) ( es decir, tienen la misma pendiente )
  • f(a)=m.a+n ( es decir, la recta pasa por el punto (a,f(a))

Empezamos por calcular el punto en el que hallar la tangente:
x=1 → f(1)=13-4.1+2=-1 → el punto es (1,-1)

  • Calculamos la pendiente:

f’(x)=3x2-4
m=f’(1)=3.12-4=-1 → y=-1x+n

  • La recta tangente debe pasar por el punto (1,-1)

-1=-1.1+n → n=0

Solución: recta tangente en (1,-1) y=-x

J2003B2.- Monotonía, asíntotas y recta tangente

Dada la función f(x) = x/(1-x2)
a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento
b) Calcular sus asíntotas
c) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x=0

Solución

a) Para estudiar la monotonía, hemos de trabajar con la 1ª derivada.
f´(x) = (1.(1-x2) – x(-2x))/(1-x2)2 = (1 + x2)/(1-x2)2
Buscamos los ceros de f´(x) para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimie nto.
f´(x)=0 → (1 + x2)/(1-x2)2=0 –> (1 + x2)=0 → No hay valores de x que hagan cero la 1ª derivada
En los intervalos hemos de tener en cuenta también los puntos en que la función no está definida, es decir, que no pertenecen al dominio.
1-x2 = 0 → x2 = 1 → x = ±1
Los intervalos que tenemos que estudiar serán:
(-∞, -1) → f’(x) > 0 → f(x) es creciente
(-1, 1) → f’(x) > 0 → f(x) es creciente
(1, +∞) → f’(x) > 0 → f(x) es creciente
Solución: f(x) es creciente en todo su dominio

b) Asíntotas verticales:
Puntos que no pertenecen al dominio de f(x), donde la función se hace ±∞:
x=1, x=-1
Asíntotas horizontales:
valores de y a los que tiende f(x) cuadno x → ±∞
lim(x→±∞) f(x) = 0
y=0
Asíntotas oblicuas:
puesto que tiene asíntotas horizontales, no tendrá asíntotas oblicuas

c) La recta tangente a la gráfica en x=0 será una recta de ecuación y = mx + b donde
m = f’(x=0) = 1
La recta debe pasar por el punto x=0, f(x=0)=0
0 = 1.0 + b → b=0
Recta tangente en x=0: y = x

Continuidad, recta tangente y asíntotas-J2000A2

Se considera la función:

(x+2)/(x-1)  si x ≤ 2
f(x) =
(3x2-2x)/(x+2) si x>2

a) Estúdiese si f(x) es continua en x=2
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto x=3
c) Calcúlense las asíntotas oblicuas

Solución

a) Para que la función sea continua en un el punto x=2 debe ocurrir que:

lim(x–>2-)f(x) = lim(x → 2+)f(x) = f(2)

lim(x → 2-)f(x) = lim(x → 2-)(x+2)/(x-1) = 4/1 = 4
lim(x → 2+)f(x) = lim(x → 2+)(3x2-2x)/(x+2) = 8/4 = 2
f(2) = 4
Puesto que no coinciden los límites laterales, la función es discontinua en x=2, donde presenta una discontinuidad inevitable

b) La recta tangente en x=3 tendrá por ecuación y=mx+b
m=f´(x=3)
Para calcular f´(x=3) debemos utilizar el trozo de la función en que x>2´
f´(x) = ((6x-2)(x+2)-(3x2-2x).1)/(x+2)2=(3x2+12x-4)/(x+2)2
f´(x=3) = 62/25
Para calcular “b”, sé que la recta debe pasar por el punto x=3, f(x=3)
f(x=3) = (27-6)/5 = 19/5
19/5 = 62/25·3 +b → b = 19/5 – 186/25 = (95-186)/25 = -91/25
La recta tangente en x=3 es y = 62/25·x – 91/25

c) En la rama x2
Asíntota oblicua: y = mx + b
m = lim(x → +∞)f(x)/x = lim(x → +∞) (3x2-2x)/x(x+2) = 3
b = lim(x → +∞) f(x) -m·x = (3x2-2x)/(x+2) – 3x = -8
Asíntota oblicua: y = 3x – 8