¿Qué son funciones inversas? Calcula el dominio y el recorrido de y=7x/(2x-3)

Solución:

Funciones inversas son aquellas que lo que hace la una lo deshace la otra y lo que hace la otra lo deshace la una. Matemáticamente: si f(x) y g(x) son funciones inversas → f(g(x))=g(f(x))=x

Dominio: puesto que se trata de una función racional, los únicos puntos que no pertenecerán al dominio de la función serán los que hacen 0 el denominador de la función:

2x-3=0; x=3/2

Dom (f(x)) = { x € R – x=3/2 } = x € (-∞, 3/2) U (3/2 , +∞)

Para estudiar el recorrido de la función tenemos que recurrir a una propiedad que cumplen las funciones inversas: si f(x) y g(x) son funciones inversas → Dom(f(x))=Rec(g(x)) y Rec(f(x))=Dom(g(x))

Si calculamos g(x) y estudiamos su dominio, tendremos Rec(f(x))

Para encontrar la inversa de una función lo que haremos será cambiar la x por la y en f(x) y después despejar la y:

x=7y/(2y-3); x(2y-3)=7y; 2xy – 3x = 7y; 2xy – 7y = 3x; y(2x-7)=3x; y = 3x/(2x-7)

g(x) = 3x/(2x-7) ← función inversa de f(x)

Puesto que se trata de una función racional, su dominio será:

Dom(g(x))= { x € R excepto 2x-7=0 }= { x € R – x=7/2 } = x € (-∞, 7/2) U (7/2 , +∞)

Rec(f(x))=Dom(g(x))={ x € R – x=7/2 } = x € (-∞, 7/2) U (7/2 , +∞)

Dada las siguiente función:
f(x) = (3x²) / (x²-1)
a) Calcula su función inversa
b) Estudia su dominio y su recorrido

Solución

La _función inversa_ de f(x) es una función g(x) que verifica que f(g(x)) = g(f(x)) = x

Para encontrar la función inversa lo que hacemos es sustituir y por x y x por y. Después despejamos y.
y=(3x²) / (x²-1) → x = (3y²) / (y²-1)
Quitamos el denominador → x(y²-1)=3y²
Desarrollamos el paréntesis → xy² – x = 3y²
Ponemos del mismo lado todo lo que tiene y → xy² – 3y² = x
Sacamos factor común de y² → y²(x-3)=x
Despejamos y² → y² = x / (x-3)
Despejamos y → y = (x/(x-3))^1/2

b) Se trata de una función racional, de modo que la función sólo puede tener problemas de dominio en los puntos que hacen “0″ el denominador de la función.
x²-1=0 → x²=1 → x=√1 → x=1 y x=-1

Para estudiar el recorrido de la función necesitamos conocer la función inversa:
Si f(x) y g(x) son funciones inversas se verifica que: Domf(x)=Recg(x) y Recf(x)=Domg(x)
Estudiando el Recg(x) tendremos el Domf(x)
g(x)=(x/(x-3))^1/2
Puesto que se trata de una función irracional Domg(x) = {x∈R / x/(x-3) ≥ 0}
Debemos resolver una inecuación no lineal por lo que habrá que factorizar numerador y denominador y estudiar el signo de cada factor.
x=0 → raíz x=0
x-3=0 → raíz x=3

Puesto que buscamos x/(x-3) ≥ 0 nos quedaremos con los intervalos “+” y con los que hacen “0″ el cociente, es decir, con los ceros del numerador

Obtén la función inversa de f(x) = x / (2x-3). Demuestra que lo es. Calcula el dominio y el recorrido de f(x).

Solución

a) Para calcular la inversa lo que tenemos que hacer es cambiar x por y e y por x y luego despejar la y.
y = x / (2x-3) → función inversa x = y / (2y-3) → quitamos el denominador → x(2y-3) = y → Quitamos el paréntesis → 2yx – 3x = y → Ponemos de un lado todo lo que tiene y y del otro lo que no la tiene →
2yx – y = 3x → Sacamos factor común de y → y(2x-1) = 3x → Despejamos y → y = 3x / (2x-1)

b) Para demostrar que g(x) es la función inversa de f(x) debemos recurrir a la definición:
f(x) y g(x) son funciones inversas si: f(g(x)) = g(f(x)) = x

c) Puesto que f(x) es una función racional, no pertenecerán al dominio de f(x) los puntos que hecen 0 el denominador de la función: