Representanción de función racional con asíntota oblicua

Sea la función: f(x) = x2 / ( x + 4 )
Determina: dominio, monotonía, asíntotas, tangente en el punto x=1, puntos de corte con los ejes y representa gráficamente.

Solución

  • DOMINIO

Se trata de una función racional, de modo que el único problema será el 0 del denominador:
x+4=0; x=-4
Dom f(x)={x ∈R excepto x=-4}

  • MONOTONÍA
    • Calculamos f'(x)

f'(x)=((x2)’.(x+4)-x2(x+4)’)/(x+4)2=(2x.(x+4)-x2.1)/(x+4)2=(2x2+8x-x2)/(x+4)2=(x2+8x)/(x+4)2

    • Calculamos f'(x) para obtener los posibles extremos relativos:

f'(x)=0; (x2+8x)/(x+4)2=0; x2+8x=0; x(x+8)=0
x=0
x+8=0; x=-8
Posibles extremos relativos: x=0, x=-8

    • Dividimos la recta real en intervalos teniendo en cuenta los ceros del denominador y los posibles extremos relativos y calculamos el signo de f'(x) en dichos intervalos.

(-∞,-8) f'(-10)=(100-80)/+ > 0 → f(x) CRECIENTE en este intervalo
(-8,-4) f'(-5)=(25-40)/+ < 0 → f(x) DECRECIENTE en este intervalo
(-4,0) f'(-1)=(1-8)/+ < 0 → f(x) DECRECIENTE en este intervalo
(0,+∞) f'(1)=(1+8)/+ > 0 → f(x) CRECIENTE en este intervalo

Puesto que en torno a x=-8 la función primero crece y luego decrece, se trata de un MÁXIMO
Puesto que en torno a x=0 la función primero decrece y luego crece, se trata de un MÍNIMO
Los puntos serán x=-8, f(-8)=(-8)2/(-8+4)=-16 → (-8,-16) MÁXIMO
x=0, f(0)=02/(0+4)=0 → (0,0) MÍNIMO

  • ASÍNTOTAS

Asíntotas Verticales
Son los ceros del denominador: x+4=0; x=-4
Calculamos los límites laterales para representar:
Limx→-4- x2 / (x+4) =16/0- = -∞
Limx→-4+ x2 / (x+4) =16/0+ = +∞
Puesto que el orden del numerador es una unidad superior al orden del denominador, habrá asíntota oblicua:
Asíntota Oblicua
y=ax+b
a=limx→∞ f(x)/x =limx→∞ x2/(x+4) : x/1=limx→∞ x2/x(x+4)=limx→∞ x2/(x2+4x) = 1/1=1
b=limx→∞ f(x)-ax=limx→∞ x2/(x+4) – x = limx→∞ (x2 – x(x+4))/(x+4)=limx→∞ (x2-x2-4x)/(x+4)=limx→∞ (-4x)/(x+4)=-4/1=-4

asíntota oblicua: y=x-4
  • PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

x=0 → f(0)=02/(0+4)=0
Punto (0,0)

  • REPRESENTACIÓN GRÁFICA

  • TANGENTE EN x=1
    • Calculamos el punto x=1 → f(1)=12/(1+4)=1/5

El punto es (1,1/5)
La ecuación de la recta tangente será: y=mx+n y debe cumplir que:

    • m=f'(x=1)=(12+8.1)/(1+4)2=9/25
    • La recta debe pasar por el punto (1,1/5), es decir

1/5=9/25.1+n → 1/5-9/25=n → (5-9)/25=n → -4/25=n

Recta tangente en x=1: y=9x/25 – 4/25 = (9×-4)/25

Representación de función racional con asíntota horizontal

Sea la siguiente función: f(x) = (x2+1) / ( x2-1 ). Determina:
a) Dominio
b) Monotonía de la función
c) Asíntotas
d) Puntos de corte con los ejes y representa gráficamente
e) Tangente de la gráfica en el punto x = 2

Solución

  • DOMINIO

Puesto que se trata de una función racional los únicos problemas serán los ceros del denominador: x2-1=0 → x2=1; x=√1; x=1, x=-1

::Domf(x)={x∈R excepto x=1 y x=-1}
  • MONOTONÍA
    • Calculamos la derivada:

f'(x)=((x2+1)'(x2-1)-(x2+1)(x2-1)’) / (x2-1)2=
(2x(x2-1)-(x2+1).2x) / (x2-1)2=(2x3-2x-2x3-2x)/(x2-1)2=-4x/(x2-1)2

    • Igualamos la derivada a cero para obtener los posibles extremos relativos

f'(x)=0; -4x/(x2-1)2=0; -4x=0; x=0
Posible extremo relativo: x=0

    • Divido la recta real en intervalos teniendo en cuenta los posibles extremos relativos y los ceros del denominador y estudio el signo de la derivada en dichos intervalos:

(-∞,-1) f'(-2)=-4(-2)/+ > 0 → f(x) es CRECIENTE en este intervalo
(-1,0) f'(-0,5)=-4(-0,5)/+ > 0 → f(x) es CRECIENTE en este intervalo
(0,1) f'(0,5)=-4(0,5)/+ < 0 → f(x) es DECRECIENTE en este intervalo
(1,+∞) f'(2)=-4.2/+ < 0 → f(x) es DECRECIENTE en este intervalo

En torno a x=0 la función primero crece y luego decrece → es un MÁXIMO
x=0, f(x=0)=(02+1)/(02-1)=1/-1=-1

::MÁXIMO: (0,-1)
  • ASÍNTOTAS

Asíntotas Verticales: Las A.V. son los ceros del denominador de la función:
x=1 y x=-1
Para representar debemos calcular los límites laterales, de modo que sepamos si en torno a las asíntotas, la función va a +∞ o a -∞
x=1
limx→1- (x2+1) / ( x2-1 )=2/0- = -∞
limx→1+ (x2+1) / ( x2-1 )=2/0+ = +∞
x=-1
limx→-1- (x2+1) / ( x2-1 )=2/0+ = +∞
limx→-1+ (x2+1) / ( x2-1 )=2/0- = -∞

Puesto que el orden del numerador es igual al orden del denominador, habrá asíntota horizontal y no oblicua. Estas asíntotas determinan a qué se aproxima la función cuando x tiende a +∞ o a -∞
Asíntota Horizontal:
y=limx→∞ (x2+1) / ( x2-1 ) = ∞/∞ Indeterminación
Puesto que el orden del numerador es igual que el del denominador, aplicamos la regla:
y=limx→∞ (x2+1) / ( x2-1 ) = 1/1 = 1 → y=1

A.V. x=1 y x=-1; A.H. y=1
  • PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

f(x)=(x2+1) / ( x2-1 )
x=0 → f(0) = 1/1=1 → (0,1)
f(x)=0 → x2+1=0 → x2=-1 → x=√-1 Imposible

  • REPRESENTACIÓN GRÁFICA

  • TANGENTE EN x=2
    • Obtenmos el punto donde queremos calcular la tangente

x=2 → f(2)=(22+1)/(22-1)=5/3 → (2 , 5/3)
La ecuación de la recta tangente es y=mx+n
La tangente tiene que cumplir 2 condiciones

    • m=f'(x=2)=-4.2/(22-1)2=-8/9
    • La recta tiene que pasar por el punto (2,5/3), es decir,

5/3=-8/9 ·2 + b; 5/3=-16/9 + b; 5/3+16/9=b; (15+16)/9=b; b=31/9

Recta tangente: y=-8x/9 + 31/9 = (31-8x)/9