La probabilidad de que tenga lugar un suceso A es 2/3, la del suceso B es 3/4 y la de que ocurran los dos a la vez es de 5/8. Halla la probabilidad de:

1. Que se verifique alguno de los dos sucesos
2. Que no ocurra B
3. Que no se verifique ninguno de los dos
4. Que sólo se verifique A

Solución:

Debemos escribir en lenguaje matemático lo que expresa el enunciado en lenguaje literario:

p(A)=2/3

p(B)=3/4

p(A∩B)=5/8  ( cuando tienen que ocurrir los 2 a la vez, hablamos de intersección )

1. Que se verifique alguno de los dos sucesos implica que ocurra uno o que ocurra el otro o que ocurran los dos. Eso es la unión.

p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A∩B) = 2/3 + 3/4 – 5/8 = (16 + 18 – 15) / 24 = 19/24

2. Que no ocurra B es el suceso contrario de B

p(B^c) = 1 – p(B) = 1 – 3/4 = 1/4

3.  Que no se verifique ninguno de los dos es que no ocurra A (A^c) y que no ocurra B (B^c). “Y” siempre implica intersección:

p(A^c∩B^c) → cuando tenemos dos contrarios, tenemos que aplicar Morgan.

p(A^c∩B^c)=p((AUB)^c) = 1 – p(AUB) = 1 – 19/24 = 5/24

4. Eso implica que se verifique A y que no se verique B → p(A∩B^c)

En este caso tenemos que aplicar el teorema de la probabilidad completa:

p(A) = p(A∩B) + p(A∩B^c); p(A∩B^c) = p(A) – p(A∩B) = 2/3 – 5/8 = (16-15)/24 = 1/24

En una urna hay 10 bolas rojas, 5 verdes, 4 negras y 1 azul. Define el espacio muestral y calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales.

Solución:

Experimento aleatorio: “sacar una bola de la urna”

E={R, V, N, A}

Todas las bolas son iguales, de manera que sacar una u otra tiene la misma probabilidad, lo cual quiere decir que son equiprobables. Como son equiprobables, podemos aplicar Laplace:

p(S) = casos favorables / casos posibles

p(R) = 10/20
p(V)= 5/20
p(N) = 4/20
p(A) = 1/20

En un cierto banco el 30% de los créditos concedidos son para vivienda, el 50% se destinan a empresas y el 20% son para consumo. Se sabe además que de los créditos concedidos a vivienda, el 10% resultan impagados, de los concedidos a empresas son impagados el 20% y de los concedidos para consumo resultan impagados el 10%.

1. Calcúlese la probabilidad de que un crédito elegido al azar sea pagado
2. ¿Cúal es la probabilidad de que un crédito elegido al azar se haya destinado a consumo sabiendo que se ha pagado?

Solución

Este es un ejercicio típico de selectividad.

Lo primero de todo, será plantear el árbol de probabilidad

1.- Aplicaremos el teorema de la probabilidad completa para obtener los créditos pagados:

p(P) = p(V∩P) + p(E∩P) + p(C∩P)= p(V).p(P/V) + p(E).p(P/E) + p(C).p(P/C) = 0,3.0,9 + 0,5.0,8 + 0,2.0,9 = 0,85 = 85%

2.- Aplicaremos el teorema de Bayes, o de la probabilidad a posteriori.

p(C/P) = p(C∩P) / p(P) = 0,2.0,9 / 0,85 = 0,2118 = 21,18%

Una cierta señalización de seguridad tiene instalados dos indicadores. Ante una emergencia, los indicadores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el primer indicador es de 0,95 y de que se active el segundo indicador es de 0,90.
a) Hallar la probabilida de que, ante una emergencia se active sólo uno de los indicadores.
b) Hallar la probabilidad de que, ante una emergencia, se active, al menos, uno de los indicadores.

Solución

p(A₁)=0,95 → p(NoA₁)=0,05
p(A₂)=0,90 → p(NoA₂)=0,10
Se trata de sucesos independientes → p( A₁∩A₂)=p(A₁).p(A₂)

a) suceso S=sólo se activa un indicador:
p(S)=p(A₁∩NoA₂) + p(NoA₁∩A₂)=p(A₁).p(NoA₂) + p(NoA₁).p(A₂)=0,95.0,10 + 0,05.0,90 = 0,14
p(S) = 0,14 = 14%

b) suceso R=se activa al menos un indicador:
p(R)=p(A₁∩NoA₂) + p(NoA₁∩A₂) + p( A₁∩A₂) = p(A₁∩NoA₂) + p(NoA₁∩A₂)=p(A₁).p(NoA₂) + p(NoA₁).p(A₂) + p(A₁).p(A₂) = 0,95.0,10 + 0,05.0,90 + 0,95.0,90 = 0,995
p(R) = 0,995 = 99,5%

En un colectivo de inversores bursátiles, el 20% realiza operaciones vía inernet. De los inversores que realizan operaciones vía internet, un 80% consulta InfoBolsaWeb. De los inversores bursátiles que no realizan operaciones vía internet sólo un 20% consulta infoBolsaWeb. Se pide:
a) Obtener la probabilidad de que un inversor bursátil elegido al azar en este colectivo consulte InfoBolsaWeb.
b) Si se elige al azar un inversor bursátil de este colectivo y resulta que consulta InfoBolsaWeb, ¿cuál es la probabilidad de que realice operaciones por internet?

Solución

a)
p(CP) = p(OI∩CP) + p(NOI∩CP) = p(OI).p(CP/OI) + p(NOI).p(CP(NOI) = 0,2.0,8 + 0,8.0,2 = 0,32

b)
Tenemos que aplicar el teorema de Bayes de probabilidad a posteriori:
p(OI/CP) = p(OI∩CP)/p(CP) = p(OI).p(CP/OI) / p(CP) = (0,2.0,8) / 0,32 = 0,16 / 0,32 = 0,5

Sean A y B dos sucesos tales que p(A)=1/2, p(B’)=2/5 y p(A’ U B’)=3/4. Calcular:
a) p(B/A)
b) p(A’/B)
Nota: A’ representa el suceso contrario o complementario al suceso A.

Solución

a) Por definición: p(B/A) = p(B∩A)/p(A)
Utilizando Morgan: p(A’ U B’)= p( (A∩B)’ ) = 1 – p(A∩B) = 3/4 → p(A∩B) = 1-3/4 = 1/4

b) Para resolver este apartado, hemos de mirar la siguiente imagen:

Como por definición: p(A’/B) = p(A’∩B)/p(B)
Viendo la imagen vemos que: p(A’∩B) = p(B) – P(A∩B)
p(B) + p(B’) = 1 → p(B) = 1-p(B’) = 1 – 2/5 = 3/5
p(A’∩B)= 3/5 – 1/4 = (12 – 5) / 20 = 7/20

De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen al azar, sucesivamente y sin
reemplazamiento, dos bolas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las bolas extraídas sean blancas?
b) Si la segunda bola ha resultado ser negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también lo haya sido?

Solución:

a)
Sea B = suceso sacar bola blanca
P(B₁B₂) = 4/6·3/5 = 12/30 = 6/15
b)
Puesto que se trata de probabilidad a posteriori, tenemos que utilizar el teorema de Bayes
Sea N = suceso sacar bola negra
P(N₁ / N₂) = P( N1 ∩ N2 ) / p( N2 ) = P( N1 ∩ N2 ) / P( N1 ∩ N1 ) + P( N1 ∩ N2 ) = (2/6·1/5) / (4/6·2/5) + (2/6·1/5) = 2/10 = 1/5

Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P(A) = 0,6; P(B) = 0,2
y P(A’∪B’) = 0,9. ( A’ es el suceso contrario del suceso A y B’ es el suceso contrario del suceso B).
a) Calcúlese P(A∩B) y razónese si los sucesos A y B son independientes.
b) Calcúlese P(A∪B) .

Solución:

a) P(A’∪B’) = P((A∩B)’)= 1 – P(A∩B) = 0,9 → P(A∩B) = 0,1

Para que los sucesos sean independientes se debe verificar que: P(A∩B) = p(A)·p(B)
Como P(A) · P(B) = 0,6 · 0,2 = 0,12 ≠0,1, los sucesos no son independientes.

b) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0,6 + 0,2 – 0,1 = 0,7.

Se lanzan dos dados. Calcúlese la probabilidad de cada uno de los siguientes
sucesos:
a) A = Se obtiene cinco en alguno de los dados.
b) B = Se obtiene un doble (los dos dados presentan la misma puntuación).
c) A∩B.
d) A∪B.

Solución:

a) P(A) = 11/36
b) P(B) = 6/36 = 1/6
c) P(A∩B) = P(A) · P(B/A) = 11/36 · 1/11 = 1/36
d) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 11/36 + 6/36 – 1/11 = 16/36 = 8/18 = 4/9

Se tiene el experimento aleatorio: tirar un dado no trucado.
Se tienen los siguientes sucesos:

A=”que salga par”
B=”que salga impar”
C=”que salga menor que 3”
D=”que salga mayor que 4”

1. Calcular la unión y la intersección de las posibles combinaciones de los 4 sucesos anteriores y determina sus probabilidades.

Solución:

Los posibles resultados serán: S={1,2,3,4,5,6}

Puesto que todos los sucesos son equiprobables, podemos aplicar Laplace:
p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

A={2,4,6}; P(A)=3/6=1/2
B={1,3,5}; P(B)=3/6=1/2
C={1,2}; p(C)=2/6=1/3
D={5,6}; p(D)=2/6=1/3

Calculamos la unión y la intersección de sucesos:

AUB={1,2,3,4,5,6}; p(AUB)=6/6=1
A∩B={Ø}; p(A∩B)=0
Dos sucesos que verifican que AUB=E y A∩B=Ø se dice que son sucesos contrarios. Puesto que la intersección es nula, son también incompatibles.
Podemos resolverlo también de este otro modo y comprobar que se obtienen los mismos resultados:
p(AUB)=p(A) + p(B) – p(A∩B) = 1/2 + 1/2 -0 = 1

AUC={1,2,4,6}; p(AUC)=4/6=2/3
A∩C={2}; p(A∩C)=1/6

AUD={2,4,5,6}; p(AUD)=4/6=2/3
A∩D={6}; p(A∩D)=1/6

BUC={1,2,3,5}; p(BUC)=4/6=2/3
B∩C={1}; p(B∩C)1/6

BUD={1,3,5,6}; p(BUD)=4/6=2/3
B∩D={5}; p(B∩D)=1/6

CUD={1,2,5,6}; p(CUD)=4/6
C∩D={Ø};p(C∩D)=0
Puesto que la intersección es nula, se trata de sucesos incompatibles.