Hallar las dimensiones de un campo rectangular de 3600m² de superficie para poderlo cercar mediante una valla de longitud mínima.

Solución

Hallar las dimensiones de un terreno rectangular cuyo perímetro es 80m si se desea que su área sea máxima.

Solución

Un club deportivo cuenta con un número de socios que viene dado ( en miles de personas ) por la función: S(x) = 2x³ – 15x² + 24x + 26, donde x indica el número de años desde la última remodelación.
a) Hállese el año en el que el club ha tenido el mayor número de socios
b) El 4º año se remodeló de nuevo. Indíquese razonadamente si esta remodelación tuvo éxito o no.

Solución:

a) Lo que nos están pidiendo es maximizar la función S(x).
Sabemos que para maximizar o minimizar debemos utilizar la primera derivada de la función e igualar a “0″.
S’(x) = 6x² – 30x + 24
S’(x) = 0 → 6x² – 30x + 24 = 0
Si simplificamos: x² – 5x + 4 = 0 –> x = (5 ± (25-24)^1/2)/2 = (5 ± 1)/2 →
x₁ = 6/2 = 3
x₂ = 4/2 = 2
Tenemos dos extremos relativos. Como lo que nos piden es maximizar, tenemos que ver cuál de los dos es máximo. Para ello utilizamos la 2ª derivada de la función.
S”(x) = 12x-30
S”(x=3) = 36-30=6>0 → x=3 es un mínimo
S”(x=2) = 24-30 = -6 <0 → x=2 es un máximo
Resultado: x=2 es un máximo → 2 años después de la primera remodelación se consiguió el máximo número de socios

b) Para saber si la segunda remodelación fue efectiva, tenemos que estudiar la función en torno a x=4. Para ello estudiamos la monotonía de la función, utilizando los datos del apartado anterior.
(-∞, 2) → S’(x) > 0 → CRECIENTE
(2,3) → S’(x) < 0 → DECRECIENTE
(3, ∞) → S’(x) > 0 → CRECIENTE → Como la función para x>4 es creciente, quiere decir que a partir del 4º año, el número de socios aumentó, luego la remodelación fue eficaz