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Optimización. Perímetro mínimo

Aurora Lucas — Fri, 19 Feb 2010 12:45:23 +0000

Hallar las dimensiones de un campo rectangular de 3600m² de superficie para poderlo cercar mediante una valla de longitud mínima.

Solución

Para optimizar, debemos derivar la función a optimizar e igualar la derivada a 0 para así obtener sus extremos relativos.
Primero debemos encontrar la función y expresarla en función de una única incógnita:
Sabemos que: S=x.y=3600m²
La funcióna minimizar es el perímero: P=2x + 2y
y=3600/x
P=2x+2(3600/x) = 2x + 7200/x
Derivamos: P’=2-7200/x²
Igualamos a 0: P’=0
2-7200/x²=0; (2x²-7200)/x²=0; 2x²-7200=0; 2x²=7200; x²=7200/2; x²=3600; x=±60

El valor x=-60m no tiene sentido, pues un objeto no puede tener dimensiones negativas, luego x=60m será la solución. y=3600/60=60m

Demostramos que se trata de un mínimo utilizando la 2ª derivada:
P”=14400/x³
P”(x=60)=14400/60³ > 0 → x=60 es un mínimo

Solución: x=60m e y=60m

Optimización. Rectángulo de área máxima

Aurora Lucas — Fri, 19 Feb 2010 12:41:25 +0000

Hallar las dimensiones de un terreno rectangular cuyo perímetro es 80m si se desea que su área sea máxima.

Solución

Para maximizar una función, debemos

derivar
igualar a cero.

Para ello, lo primero que tenemos que hacer es encontrar la función y hacer que dependa de una única incógnita.
La función a maximizar será: A=x.y
siendo x e y las dimensiones de mi rectángulo
El perímetro será: P=2x+2y=80
Despejamos y: 2y=80-2x; y=(80-2x)/2=40-x
Sustituimos en A:
A=x.(40-x)=40x-x²
Derivamos:
A’=40-2x
Igualamos a 0:
A’=0 → 40-2x=0; 40=2x; x=40/2=20m
Despejamos y=40-20=20m
Verificamos que se trata de un máximo utilizando la 2ª derivada:
A”=-2
A”(x=20)=-2 < 0 → x=20 es un máximo

Solución: las dimensiones del rectángulo que maximizan el área serán x=y=20m

Optimización de funciones

Aurora Lucas — Fri, 19 Feb 2010 12:35:06 +0000

De dos números positivos se sabe que suman 10. Hallad dichos números de manera que la suma de sus cuadrados sea mínima

Solución

Como desconocemos cuáles son los números, los llamaremos x e y:
x+y=10
La función que quiero minimizar es:
f=x²+y²
Para encontrar el máximo o el mínimo de una función debemos:
1.- Derivar
2.- Igualar a cero
pero para poder derivar, solo debe depender de una incógnita así es que utilizamos la primera ecuación para despejar una incógnita y sustituir.
f=x²+(10-x)²
f=x²+(100+x²-20x)=2x²-20x+100

Derivamos

f’=4x-20

Igualamos a cero

f’=0; 4x-20=0; 4x=20; x=20/4=5 → y=10-x=10-5=5

Ahora demostramos que se trata de un mínimo, utilizando la 2ª derivada:

f”=4
f”(x=5)=4>0 → x=5 es un mínimo
NOTA: si nos hubiera salido que x=5 es unb máximo, deberíamos haber buscado el valor mínimo en los extremos de los valores que puede tomar x, es decir, x=0 o x=10, puesto que los valores máximos y mínimos pueden estar o bien entre los extremos relativos (f’=0) o bien en los extremos del intervalo.

Solución: x=5 e y=5

J1998B3-Optimización y áreas

Aurora Lucas — Fri, 18 Dec 2009 08:30:05 +0000

Sea la función f(x) = 2x³ + bx² + ax – 5
a) Hállense los valores de a y b de forma que f(x) tenga un máximo en x=1 y un mínimo en x=2.
b) Hállese el área de la región limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x=0 y x=3

Solución

a) Para que x=1 sea un máximo y x=2 sea un mínimo, la primera derivada de f(x) debe ser igual a “0″ en estos puntos.
f’(x)=6x² + 2·b·x + a
f’(x=1) = 6.1 + 2b + a = 0
f’(x=2) = 6·4 + 2·b·2 + a = 0
Tenemos 2 ecuaciones y 2 incógnitas:
6 + 2b + a = 0
24 + 4b + a = 0
Si resolvemos el sistema por cualquiera de los métodos que conocemos, por ejemplo sustitución:
a = -6 – 2b
24 + 4b – 6 – 2b = 0 → 18 + 2b = 0 → 2b = -18 → b = -18/2 → b = -9
a = -6 – 2b = -6 – 2·(-9) = -6 + 18 → a = 12

b) Para calcular el área, representamos la función. Encontramos los puntos de corte con el eje x:

Por Ruffini, llegamos a que x=1 es una raiz. Resolvemos la ecuación de 2º grado para encontrar el resto:

(2x³ -9x² + 12x – 5)/(x-1) = 2x²-7x+5
2x²-7x+5=0 → x = (7 ± (49-40)^1/2)/4 = (7 ± 3)/4 → x=1 y x=10/4 = 5/2

Hay dos tramos: Entre x=0 y x=5/2, la función queda por debajo del eje y por lo tanto el área será la integral definida cambiada de signo: A1=-∫₀^5/2f(x).dx = – (F(5/2) – F(0))

Entre 5/2 y 3, la función queda por encima del eje x y por lo tanto, el área coincide con la integral.

A2=∫_5/2³f(x).dx = F(3) – F(5/2)

A = A1 + A2

F(x)=∫(2x³ -9x² + 12x – 5)dx=2x⁴/4 -9x³/3+12x²/2 -5x = x⁴/2-3x³+6x²-5x
A = -(-75/32 – 0) + (51/2 -(-75/32)) = 75/32 + 51/2 + 75/32 = 75/16 + 51/2 = 483/16u²

A=483/16u²