Un avión que vuela a 2km de altura y con una velocidad de 1000km/h quiere destruir otro avión que vuela en su misma dirección y sentido, a una altura de 1,5km y con una velocidad de 800km/h. Determina la posición inicial del segundo avión cuando dispara el primero para que éste sea destruido.

Solución:

Tenemos 2 aviones que vuelan a diferentes velocidades y diferentes alturas. Uno de ellos quiere destruir al otro. Debemos encontrar el punto en el que debe encontrarse el avión que va a ser destruido cuando el otro tira la bomba.

El avión que va a ser destruido describe un MRU a una altura de 1500m
Va=800km/h=222,22m/s
Xa=Xo + 222,22.t
Ya=1500m

La bomba describe un tiro horizontal:
eje x:
Vbx=1000km/h=277,78m/s
Xb=277,78.t
eje y:
ay=-9,8m/s²
Vby=-9,8.t
Yb=2000-9,8.t²/2

El impacto debe producirse cuando la bomba está a 1500m Yb=1500m y entonces debe ocurrir que Xa=Xb
1500=2000-9,8.t²/2; t=10,10s
Xa(10,10s)=Xb(10,10s); Xo + 222,22.10,10 = 277,78.10,10; Xo=561,16m

La posición del segundo avión cuando el primero tira la bomba debe ser: r = ( 561,16 , 1500 )m

Un avión que vuela a 850km/h deja caer un paquete desde una altura de 2km. El paquete debe ser recogido por un barco que se mueve con una velocidad constante de 20km/h en la dirección del avión, pero en sentido contrario. ¿A qué distancia del avión debe encontrarse el barco cuando éste suelta el paquete? ¿Qué velocidad lleva el paquete cuando llega al barco?

Solución:

El problema plantea el movimiento de dos cuerpos: el paquete, que describe un tiro horizontal a una velocidad inicial de (Vox=850km/h=236,11m/s) y el barco, que describe un MRU a una Vx=20km/h=5,56m/s. Para que el barco recoja el paquete, la X del paquete y la X del barco debe ser la misma cuando el paquete llega al agua, es decir, cuando Ypaquete=0.

Planteamos las ecuaciones del movimiento:

paquete:
eje x: MRU
Vx=236,11
Xp=236,11.t
eje y: MRUA
ay=-9,8m/s²
Vy=-9,8t
Yp=2000-9,8t²/2
Barco:
eje x: MRU
Vx=-5,56m/s
Xbarco=Xo-5,556t

Calculamos el tiempo que tarda el paquete en caer al suelo: Yp=0; 0=2000-9,8t²/2; t=20,20s
A los 20,20s Xp=Xb → 236,11.20,20=Xo-5,556.20,20; Xo=4882,45m

Obtenemos el vector velocidad: V=(Vx, Vy)
Vx=236,11m/s
Vy=V(20,20s)=-9,8.20,20=-197,96m/s
V=(236,11 , -197,96)m/s

Desde lo alto de una colina de 50m un tirador dispara un cañón con un ángulo de inclinación de 30º y una velocidad de 250km/h. Un tanque que huye de él se desplaza a una velocidad de 35km/h. ¿Dónde debía encontrarse el tanque para que el tiro sea acertado? ¿Con qué velocidad llega la bala al suelo?

Solución:

Posición del tanque cuando se lanza la bala: Xo=418,99m

Veliocidad de la bala al llegar al suelo: v=(60,14,  -46,72)m/s

Un cazador ve acercarse una palama que vuela hacia él con una velocidad de 2m/s a una altura de 70m. En ese momento dispara a una velocidad de 50m/s formando un ángulo de 60º con la horizontal. Calcula la distancia a la que debe encontrarse la paloma para que el cazador dé en el blanco. Calcula la posición en la que se encuentra la paloma cuando es cazada y la velocidad que llevaba la bala.

Solución

Lo que queremos es encontrar el punto ( o los puntos ) en los que la trayectoria de la bala coincide con la de la paloma. Para ello escribimos las ecuaciones de su movimiento:
Paloma: MRU
a_p=0
v_p=-2m/s
x_p=x_o -2t
y_p=70m

Bala: Tiro parabólico
eje x: MRU
a_Bx=0
v_Bx=50.cos60=25m/s
x_B=25t

---

eje y: MRUA
a_By=-9,8 m/s²
v_By=50.sen60-9,8t=43,30-9,8t
y_B=43,30t-9,8t²/2

---

Queremos que cuando y_B=70, x_B=x_p
70=43,30t-9,8t²/2
4,9t²-43,30t+70=0
t=(43,30±22,43)/9,8 → t=6,71s y t=2,13s

Obtenemos dos tiempos válidos, puesto que, como se ve en el dibujo, hay dos posiciones en las que las trayectorias de la bala y la paloma se cruzan, luego tendremos dos posiciones x_o de la paloma para las que se hará blanco.
1ª solución
t=6,71s
x_B=x_p → 25.6,71=x_o-2.6,71 → x_o=181,17m
2ª solución
t=2,13s
x_B=x_p → 25.2,13=x_o-2.2,13 → x_o=57,51m

Un avión de combate vuela a una velocidad de 700km/h y una altura de 400m cuando ve venir hacia él un portaviones a una velocidad de 30km/h. Su objetivo es destruir el portaviones. ¿A qué distancia horizontal del barco deberá soltar la bomba para que esta impacte en su objetivo? ¿Con qué velocidad llega la bomba al agua?

Solución

 
Cuando el avión suelta la bomba, esta llevará la misma velocidad que llevaba el avión, luego describirá un tiro horizontal.
Lo que nosotros queremos es que cuando la bomba llegue al suelo (y=0) la posición horizontal de la bomba coincida con la del portaviones (x_b=x_p)

Planteamos las ecuaciones de movimiento de los dos cuerpos
bomba
eje X: MRU
Vb_x=700km/h=194,44m/s
Xb=194,44t
eje Y: MRUA
ab_y=-9,8m/s²
Vb_y=-9,8t
Yb=400-9,8.t²/2

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portaviones: MRU en eje X
a_p=0
v_p=-30km/h=-8,33m/s
x_p=x_o – 8,33t

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Nuestro objetivo es hallar x_o, es decir, posición que debe tener el portaviones cuando se lanza la bomba para que lo destruya.
Para ello, calculamos el t que tarda en llegar al suelo ( Yb=0 ) y hacemos x_b=x_p
Yb=0; 400-9,8.t²/2=0; t=9,04s
x_b=194,44.9,04=1757,74m
x_p=1757,74m; x_o – 8,33.9,04=1757,74m; x_o=1833,04m

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En este instante de tiempo, la velocidad de la bomba será:
Vb_x=700km/h=194,44m/s
Vb_y=-9,8.9,04=-88,59m/s
v_b=(194,44 , -88,59) m/s

Un cuerpo se mueve con una velocidad constante de 12m/s por una trayectoria rectilínea. En un momento dado le sigue a 180m por detrás, otro vehículo que lleva una velocidad de 30m/s. ¿Qué aceleración mínima deberá tener el segundo vehículo para no chocar con el primero?

Un ciclista que lleva una velocidad constante de 50km/h sale a las 11h de la mañana de una localidad. 20 minutos más tarde sale tras él, desde la misma localidad, un vehículo que se desplaza con aceleración constante de 1m/s². Determina en qué punto y a qué hora se encontrarán. Calcula la velocidad que lleva el vehículo cuando se encuentran.

Solución

El ciclista se desplaza a velocidad constante, luego describe un MRU
El vehículo se desplaza con aceleración constante, luego describe un MRUA
El origen de tiempos no es el mismo para ambos, hay una diferencia de 20′
Escribimos las ecuaciones de ambos movimientos:
CICLISTA: MRU
a_c=0
v_c=50km/h=13,89m/s
x_c=13,89.t

VEHÍCULO: MRUA
a_v=1m/s²
v_v=1.t’
x_v=1.t’²/2

t=t’+1200 ( puesto que el vehículo sale 20′=1200s más tarde que el ciclista )

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Que se encuentran significa que sus posiciones coinciden, es decir x_c=x_v
13,89t=t`<sup>2</sup>/2
13,89.(t’+1200)=t`²/2
t`²/2 – 13,89t-16668=0
Resolvemos la ecuación de 2º grado y obtenemos: t’=(13,89±183,11)/1
El tiempo negativo no tiene sentido físico, luego la solución será: t’ = 197s = 3,28′
Si sustituimos t’ en x_v, obtendremos la posición en la que se encuentran:
x=197²/2=19404,5m=19,40km
Calculamos ahora la v_c=1.197=197m/s=709,2km/h

Un ladrón huye de la policia que le persigue en un helicóptero que vuela a 120km/h y a una altura de 20m. Cuando el ladrón se encuentra a una distancia horizontal de 10m del helicóptero, este deja caer una red con el objetivo de atrapar al ladrón. ¿A qué velocidad debe desplazarse el ladrón para que esto ocurra?

Dos vehículos A y B inician simultáneamente un viaje en la misma dirección y sentido. A lleva una velocidad de 80km/h y parte de una localidad que se encuentra a 30km de B que se mueve a 110km/h. ¿Cuánto tiempo transcurrirá hasta que el segundo dé alcance al primero?¿En qué posición ocurre?

Solución