Una partícula cargada penetra con velocidad v en una región en la que existe un campo magnético uniforme B. Determina la expresión de la fuerza ejercida sobre la partícula en los siguientes casos:
a) La carga es negativa, la velocidad es v=v_o j y el campo magnético es B = -B_o k.
b) La carga es positiva, la velocidad es v=v_o (j + k ) y el campo magnético es B = B_o j.
Nota: Los vectores i, j y k son los vectores unitarios según los ejes X, Y y Z respectivamente.

Solución:

Una partícula cargada y en movimiento en el seno de un campo magnético experimenta la fuerza de Lorentz: F= q(v x B)

a) Supongamos que la carga q=-Q puesto que es negativa.
v=(0, v_o, 0)
B=(0,0,-Bo)
Realizamos el producto vectorial, utilizando determinantes:

F = q (v x B) = -Q(-v_o.Bo.i) = Q.v_o.Bo.i ( tiene el sentido positivo del eje de las x )

b) Realizamos la misma operación:

Supongamos que la carga q=+Q puesto que es positiva.
v=(0, v_o, 0)
B=(0,0,-Bo)
Realizamos el producto vectorial, utilizando determinantes:

F = q (v x B) = +Q(-v_o.Bo.i) = -Q.v_o.Bo.i ( tiene el sentido negativo del eje de las x )

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Por un hilo conductor rectilíneo y de gran longitud circula una corriente de 12A. El hilo define el eje Z de coordenadas y la corriente fluye en el sentido positivo. Un electrón se encuentra situado en el eje Y a una distancia del hilo de 1cm. Calcula el vector aceleración instantánea que experimentaría dicho electrón si:
a) Se encuentra en reposo
b) Su velocidad es de 1m/s según la dirección positiva del eje Y
c) Su velocidad es de 1m/s según la dirección positiva del eje Z
d) Su velocidad es de 1m/s según la dirección negativa del eje X

Datos: µ=4π.10^-7 N/A²; m_e=9,1.10^-31kg; e=1,6.10^-19C

Solución:

Lo que tenemos en este ejercicio es un electrón ( una carga ) sometido al campo magnético creado por un hilo conductor ( ya sabemos que cualquier carga eléctrica en movimiento es fuente de campo magnético )

Una carga en el seno de un campo magnético experimenta la fuerza de Lorentz: F=q(v x B)=m.a

El campo magnético al que se ve sometida es el que crea el hilo conductor.

B=μ_o.I/2Π.d (módulo)
La dirección de B será tangente a la circunferencia trazada con centro en el hilo conductor y de radio d ( distancia a la que se encuentra la carga ). El sentido se obtiene con la mano derecha. Se marca con el dedo gordo el sentido de la corriente. El resto de dedos nos dirá el sentido de B.

B=-μ_o.I/2Π.d.i = -4Π.10^-7.12/2Π.10^-2i=-1,2.10^-4i T

B será el mismo en todas las situaciones puesto que el hilo conductor siempre es el mismo y la distancia a la que se encuentra la carga también.

a) Aplicamos la ley de Lorentz: F=q(v x B)

Puesto que el electrón está en reposo, v=0 y por lo tanto F=0; a=0.

b) v=(0,1,0)m/s

F=-1,6.10^-19. ( (0,1,0) x (-1,2.10^-4,0,0) ) = -38,4.10^-24k N

F=m.a; a=F/m = -38,4.10^-24k N/9,1.10^-31kg = -4,22.10⁷k m/s²

c) v=(0,0,1)m/s

F=-1,6.10^-19. ( (0,0,1) x (-1,2.10^-4,0,0) ) = 38,4.10^-24j N

F=m.a; a=F/m = 38,4.10^-24j N/9,1.10^-31kg = 4,22.10⁷j m/s²

d) v=(1,0,0)m/s

F=-1,6.10^-19. ( (1,0,0) x (-1,2.10^-4,0,0) )=0 puesto que v y B son paralelos.

a=0

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Un protón que se mueve con una velocidad v entra en una región en la que existe un campo magnético B uniforme. Explica cómo es la trayectoria que seguirá el protón:
a) Si la velocidad del protón es paralela al campo magnético
b) Si la velocidad del protón es perpendicular al campo magnético

Solución:

a) La fuerza que actúa sobre una carga sometida a la acción de un campo magnético viene dada por la ley de Lorentz: F=q(v x B). Esta fuerza viene dada por un producto vectorial, de manera que será nula si v y B son paralelos y será perpendicular al plano determinado por v y por B. Puesto que si hay fuerza, esta va a ser perpendicular a v, la fuerza, lo único que producirá será un giro, modificación en la dirección de la velocidad, pero nunca en su módulo.

Según lo que acabamos de decir, si v y B son paralelos F=0 → no hay aceleración, la velocidad es constante y la partícula describe un  M.R.U. No se entera de que en esa región existe un campo magnético.

b) Si v es perpendicular a B, aparecerá una fuerza perpendicular a la velocidad, que hará que el protón gire, describiendo un M.C.U. puesto que se trata de una fuerza que no producirá modificación en el módulo de la velocidad, sino solo en su dirección. El sentido horario o antihorario dependerá del sentido de v y B, según nos indica la regla del sacacorchos. El plano de este M.C.U. será el determinado por v y F, con F siempre dirigida hacia el centro de curvatura.

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