La expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda tensa orientada según el eje X es: y(x,t) = 0,5.sen(6πt-2πx) ( en unidades del SI ). Determina:
a) Los valores de la longitud de onda y de la velocidad de propagación de la onda.
b) Las expresiones que representan la elongación y la velocidad de vibración en función del tiempo, para un punto de la cuerda situado a una distancia x=1,5m del origen.
c) Los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de vibración de los puntos de la cuerda.
d) La distancia mínima que separa dos puntos de la cuerda, que, en un mismo instante, vibran desfasados 2Π radianes.
Solución
a) Una onda armónica tiene la siguiente expresión matemática genérica: y(x,t) = A.sen(kx±wt)
Si comparamos esta expresión con la que nos da el enunciado del ejercicio:
Lo que acompaña a la x será k: k=2π
Lo que acompaña a la t será w: w=6π
Sabemos que k=2π/λ → λ = 2π/k = 2π/2π → λ = 1m
Sabemos que w=2π/T → T = 2π/w = 2π/6π → T = 1/3 s
v= λ/T → v=1m/(1/3s) = 3m/s → v=3m/s
b) La elongación será: y(x,t) = 0,5.sen(6πt-2πx) m
La velocidad será: v(x,t) = dy(x,t)/dt = 0,5.6π.cos(6πt-2πx) = 3π.cos(6πt-2πx) m/s
Para un punto que se encuentra en x=1,5m
y(1,5m , t)=0,5.sen(6πt – 2π.1,5) = 0,5.sen(6πt – 3π) m
v(1,5m , t)=3π.cos(6πt-2π.1,5) = 3π.cos(6πt-3π) m/s
c) v(x,t) = 3π.cos(6πt-2πx) m/s
vmax → cos(6πt-2πx)=1 → vmax = 3π m/s
a(x,t) = d v(x,t) / dt = – 0,5.(6π)2.sen(6πt-2πx) m/s2
amax → sen(6πt-2πx)=-1 → amax=0,5.(6π)2= 177,65m/s2
d) Tenemos que estudiar la distancia mínima entre dos puntos, en el mismo instante de tiempo, cuya diferencia de fase es de 2π rad
φ1 = 6πt – 2π.x1
φ2 = 6πt – 2π.x2
φ2 – φ1 = 2π rad
φ2 – φ1 = (6πt – 2π.x2) – (6πt – 2π.x1) = 2π (x2-x1)
2π rad = 2π (x2-x1) → x2-x1 = 1m