¿Qué son funciones inversas? Calcula el dominio y el recorrido de y=7x/(2x-3)

Solución:

Funciones inversas son aquellas que lo que hace la una lo deshace la otra y lo que hace la otra lo deshace la una. Matemáticamente: si f(x) y g(x) son funciones inversas → f(g(x))=g(f(x))=x

Dominio: puesto que se trata de una función racional, los únicos puntos que no pertenecerán al dominio de la función serán los que hacen 0 el denominador de la función:

2x-3=0; x=3/2

Dom (f(x)) = { x € R – x=3/2 } = x € (-∞, 3/2) U (3/2 , +∞)

Para estudiar el recorrido de la función tenemos que recurrir a una propiedad que cumplen las funciones inversas: si f(x) y g(x) son funciones inversas → Dom(f(x))=Rec(g(x)) y Rec(f(x))=Dom(g(x))

Si calculamos g(x) y estudiamos su dominio, tendremos Rec(f(x))

Para encontrar la inversa de una función lo que haremos será cambiar la x por la y en f(x) y después despejar la y:

x=7y/(2y-3); x(2y-3)=7y; 2xy – 3x = 7y; 2xy – 7y = 3x; y(2x-7)=3x; y = 3x/(2x-7)

g(x) = 3x/(2x-7) ← función inversa de f(x)

Puesto que se trata de una función racional, su dominio será:

Dom(g(x))= { x € R excepto 2x-7=0 }= { x € R – x=7/2 } = x € (-∞, 7/2) U (7/2 , +∞)

Rec(f(x))=Dom(g(x))={ x € R – x=7/2 } = x € (-∞, 7/2) U (7/2 , +∞)

a) Averigua para qué valores del parámetro t, la matriz A no tiene inversa. Calcula la matriz inversa de A para t=2

b) Calcula B³⁶

Solución:

a) Para ver si una matriz tiene inversa, lo único que tenemos que hacer es calcular su determinante. Si |A| ≠0 → A tiene inversa.

|A|=t²-4t+3
|A|=0 → t²-4t+3=0; t=3 y t=1
Para t=3, t=1 A no tiene inversa

Para calcular la matriz inversa para t=2 podemos utilizar el método de Gauss o A^-1=(adjA)^T/|A|

b) Para calcular B³⁶, utilizamos el método de inducción. Calculamos B¹, B², B³… y tratamos de ver si existe alguna relación entre los valores de la potencia de B y los elementos de la matriz. Así, podemos ver que:

Dada las siguiente función:
f(x) = (3x²) / (x²-1)
a) Calcula su función inversa
b) Estudia su dominio y su recorrido

Solución

La _función inversa_ de f(x) es una función g(x) que verifica que f(g(x)) = g(f(x)) = x

Para encontrar la función inversa lo que hacemos es sustituir y por x y x por y. Después despejamos y.
y=(3x²) / (x²-1) → x = (3y²) / (y²-1)
Quitamos el denominador → x(y²-1)=3y²
Desarrollamos el paréntesis → xy² – x = 3y²
Ponemos del mismo lado todo lo que tiene y → xy² – 3y² = x
Sacamos factor común de y² → y²(x-3)=x
Despejamos y² → y² = x / (x-3)
Despejamos y → y = (x/(x-3))^1/2

b) Se trata de una función racional, de modo que la función sólo puede tener problemas de dominio en los puntos que hacen “0″ el denominador de la función.
x²-1=0 → x²=1 → x=√1 → x=1 y x=-1

Para estudiar el recorrido de la función necesitamos conocer la función inversa:
Si f(x) y g(x) son funciones inversas se verifica que: Domf(x)=Recg(x) y Recf(x)=Domg(x)
Estudiando el Recg(x) tendremos el Domf(x)
g(x)=(x/(x-3))^1/2
Puesto que se trata de una función irracional Domg(x) = {x∈R / x/(x-3) ≥ 0}
Debemos resolver una inecuación no lineal por lo que habrá que factorizar numerador y denominador y estudiar el signo de cada factor.
x=0 → raíz x=0
x-3=0 → raíz x=3

Puesto que buscamos x/(x-3) ≥ 0 nos quedaremos con los intervalos “+” y con los que hacen “0″ el cociente, es decir, con los ceros del numerador

Calcular los valores de a para los cuales la inversa de la matriz A coincide con su traspuesta.

Dadas las matrices fila: A = ( 2,1,-1)
y las matrices columna: B=(3,-2,1) X = (x y z) C = (4, -2, 0)
a) Calcula las matrices M = AB y N = BA
b) Calcular P^-1, siendo P = (N-I), donde I representa la matriz identidad
c) Resolver el sistema PX = C

Sean las matrices:

a) Determinar si A y B son invertibles y en ese caso, calcular su inversa
b) Resolver la ecuación matricial X.A – B = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 3
c) Calcular A⁸⁶