A=”que salga par”
B=”que salga impar”
C=”que salga menor que 3”
D=”que salga mayor que 4”

1. Calcular la unión y la intersección de las posibles combinaciones de los 4 sucesos anteriores y determina sus probabilidades.

Solución:

Los posibles resultados serán: S={1,2,3,4,5,6}

Puesto que todos los sucesos son equiprobables, podemos aplicar Laplace:
p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

A={2,4,6}; P(A)=3/6=1/2
B={1,3,5}; P(B)=3/6=1/2
C={1,2}; p(C)=2/6=1/3
D={5,6}; p(D)=2/6=1/3

Calculamos la unión y la intersección de sucesos:

AUB={1,2,3,4,5,6}; p(AUB)=6/6=1
A∩B={Ø}; p(A∩B)=0
Dos sucesos que verifican que AUB=E y A∩B=Ø se dice que son sucesos contrarios. Puesto que la intersección es nula, son también incompatibles.
Podemos resolverlo también de este otro modo y comprobar que se obtienen los mismos resultados:
p(AUB)=p(A) + p(B) – p(A∩B) = 1/2 + 1/2 -0 = 1

AUC={1,2,4,6}; p(AUC)=4/6=2/3
A∩C={2}; p(A∩C)=1/6

AUD={2,4,5,6}; p(AUD)=4/6=2/3
A∩D={6}; p(A∩D)=1/6

BUC={1,2,3,5}; p(BUC)=4/6=2/3
B∩C={1}; p(B∩C)1/6

BUD={1,3,5,6}; p(BUD)=4/6=2/3
B∩D={5}; p(B∩D)=1/6

CUD={1,2,5,6}; p(CUD)=4/6
C∩D={Ø};p(C∩D)=0
Puesto que la intersección es nula, se trata de sucesos incompatibles.

Solución:

Que ocurra “alguno” es la operación unión: p(AUB)=5/6
p(AUB)=p(A) + p(B) – p(A∩B)

Que ocurran “ambos” es la operación intersección: p(A∩B)=1/3
Que los sucesos sean independientes implica que: p(A∩B)=p(A).p(B)

Con ambas ecuaciones, hacemos un sistema:
p(AUB)=p(A) + p(B) – p(A∩B); 5/6 = p(A) + p(B) – 1/3
p(A∩B)=p(A).p(B); 1/3=p(A).p(B)

p(A) = 1/3.p(B)
5/6= 1/3p(B) + p(B) – 1/3; 7/6 = 1/3p(B) + p(B)
7p(B) = 2 + 6p(B)²; 6p(B)² – 7p(B) + 2 = 0
Resolvemos la ecuación de 2º grado:
p(B) = (7 ± 1)/12 ; p(B)=2/3 y p(B) = 1/2

Si p(B)=3/4 –> p(A) = 1/3.(2/3) = 1/2

Si p(B) = 1/2 –> p(A)=1/3.(1/2) = 2/3

Uno de los sucesos tendrá probabilidad 1/2 y el otro 2/3