Para resolver un sistema de inecuaciones lineales gráficamente, hemos de resolver cada una de las inecuaciones lineales.
1ª enecuación
Para resolver una inecuación lineal hemos de dibujar la recta.
x – y + 1 ≤ 0 → La recta será: x – y + 1=0 → y=x+1
Esta recta tiene de pendiente m=1 y de ordenada en el origen n=1
Para representar una recta, necesitamos 2 puntos cualquiera:
x=0 → y=0+1=1 → punto (0,1)
y=0 → 0=x+1 → x=-1 → punto (-1,0)
Cuando representamos la recta el plano XY queda dividido en 2 zonas. Sólo una de las 2 zonas verifica la inecuación. Para saber qué zona es, cogemos un punto de una de las dos zonas y vemos si el punto verifica la desigualdad. Si este punto verifica la desigualda todos los puntos que quedan del mismo lado que él verificarán la desigualdad; si no, serán los del otro lado.
Si el signo de la desigualdad es ≤ o ≥ la recta también estará incluida en la solución.
Tomamos el punto (0,0) → x – y + 1 ≤ 0 → 0 – 0 + 1 ≤ 0 → 1 ≤ 0 → FALSO: la solución estará constituida por los puntos de la recta y los que quedan del otro lado que (0,0)
2ª inecuación
Para resolver una inecuación lineal hemos de dibujar la recta.
2x + 2y – 4 > 2 → La recta será: 2x + 2y – 4 = 2 → 2x + 2y = 6 → x + y = 3 → y = 3 – x
Esta recta tiene de pendiente m=-1 y de ordenada en el origen n=3
Para representar una recta, necesitamos 2 puntos cualquiera:
x=0 → y=3-0=3 → punto (0,3)
y=0 → 0=3-x → x=3 → punto (3,0)
Cuando representamos la recta el plano XY queda dividido en 2 zonas. Sólo una de las 2 zonas verifica la inecuación. Para saber qué zona es, cogemos un punto de una de las dos zonas y vemos si el punto verifica la desigualdad. Si este punto verifica la desigualda todos los puntos que quedan del mismo lado que él verificarán la desigualdad; si no, serán los del otro lado.
Si el signo de la desigualdad es ≤ o ≥ la recta también estará incluida en la solución. En este caso la recta no estará incluida.
Tomamos el punto (0,0) → 2x + 2y – 4 > 2 → 2.0 + 2.0 – 4 > 2 → -4 > 2 → FALSO: la solución estará constituida por los puntos que quedan del otro lado que (0,0)

Una vez resueltas las dos inecuaciones, la solución serán los puntos que son a la vez solución de las dos inecuaciones:

Para resolver un sistema de inecuaciones lineales gráficamente tenemos que representar cada una de las inecuaciones.
Para resolver gráfcamente una inecuación, el primer paso es representar la recta.
x-3y≥2 → La recta será: x-3y=2 → -3y=2-x → y=(2-x)/-3 → y = (x-2)/3
esta recta tiene por pendiente m=1/3 y por ordenada en el origen n=-2/3
Para representar una recta necesitamos 2 puntos:
x=5 → y=(5-2)/3=1 → (5,1)
x=2 → y=(2-2)/3 = 0 → (2,0)
La recta divide el plano XY en 2 zonas. Sólo una de las 2 zonas será solución de mi inecuación. Pruebo un punto de una de las 2 zonas. Si ese punto verifica la inecuación, todos los que quedan del mismo lado que él verificarán la inecuación; si no lo verifica, ninguno de los que quedan del mismo lado la verificarán.
Cojo (0,0)
x-3y≥2 → 0-3.0 ≥ 2 → 0 ≥ 2 FALSO Los puntos que quedan del mismo lado de (0,0) no son solución, lo serán los del otro lado además de la recta puesto que el signo de la desigualdad es ≥

2x-y<1 → La recta será: 2x-y=1 → y=2x-1
esta recta tiene por pendiente m=2 y por ordenada en el origen n=-1
Para representar una recta necesitamos 2 puntos:
x=0 → y=2.0-1=-1 → (0,-1)
x=2 → y=2.2-1 = 3 → (2,3)
La recta divide el plano XY en 2 zonas. Sólo una de las 2 zonas será solución de mi inecuación. Pruebo un punto de una de las 2 zonas. Si ese punto verifica la inecuación, todos los que quedan del mismo lado que él verificarán la inecuación; si no lo verifica, ninguno de los que quedan del mismo lado la verificarán.
Cojo (0,0)
2x-y<1 → 2.0-0 < 1 → 2 < 1 FALSO Los puntos que quedan del mismo lado de (0,0) no son solución, lo serán los del otro lado

La solución gráfica será:

a) 2 + x > 5(x+1) es una inecuación lineal
Quitamos los paréntesis: 2 + x > 5x + 5
Dejamos las x de un lado y lo que no tiene x del otro: 2 – 5 > 5x – x
Agrupamos términos semejantes: -3 > 4x → -3/4 > x
¡OJO! Si el número por el que dividimos hubiera sido negativo, habría tenido que cambiar el signo de la desigualdad.

b) x + (x-1)/5 < 2x – (3-x)/2 es una inecuación lineal
Ponemos denominador común: M.C.M: 10
10x + 2(x-1) < 20x – 5(3-x) ← quitamos los paréntesis
10x + 2x – 2 < 20x – 15 + 5x ← agrupamos términos semejantes
12x – 2 < 25x -15 ← pasamos todo lo que tiene x a un lado y lo que no al otro
12x – 25x < -15 + 2 → -13x < -13 ← dividimos todo por -13 ( ojo! es negativo )
x > -13/(-13) → x > 1

c) x² + 2x – 15 < 0 es una inecuación no lineal: hay que factorizar y estudiar el signo de cada factor.
x² + 2x - 15 = 0 → x=(-2 ± √(4+60) )/2 → x=(-2 ± 8)/2 → x=(-2+8)/2 y x=x=(-2-8)/2 → x=3 y x=-5
La factorización quedaría: x² + 2x – 15 = 1.(x-3)(x+5)
Estudiamos el signo de cada factor

	(-∞,-5)	(-5,3)	(3,+∞)
x-3	-	-	+
x+5	-	+	+
1.(x-3).(x+5)	+	-	+

Como es <0, tengo que coger los tramos que son -

d) (4 – x²) / (x+1) ≤ 0 es una inecuación no lineal: hay que factorizar numerador y denominador y estudiar el signo de cada factor.
Factorización del numerador:
4-x²=0 → 4=x² → x=√4 → x=2 y x=-2
La factorización queda (OJO! el coeficiente que acompaña a la x de mayor orden es negativo y hay que tenerlo en cuenta en el estudio del signo) 4-x²=-1(x-2)(x+2)
Factorización del denominador:
ya está factorizado x+1=0 → raiz x=-1
Estudiamos el signo de cada factor:

	(-∞,-2)	(-2,-1)	(-1,2)	(2,+∞)
x-2	-	-	-	+
x+2	-	+	+	+
x+1	-	-	+	+
(-1).(x-2).(x+2)/(x+1)	+	-	+	-

Como es ≤ 0 tenemos que coger los - y los que hacen 0 la fracción, es decir, los ceros del numerador ( nunca los del denominador )