Límites. Indeterminaciones

Aurora Lucas — Mon, 23 Nov 2009 08:33:42 +0000

Calcula los siguientes límites:

lim_x→3 (x² – 6x + 9)/(x²-9)
lim_x→0 (x³ + 2x² + 4x) / (x² + x)
lim_x→0 x / (1 – (x+1)^1/2)
lim _x→2 ( x² –x – 2 ) / ( x² – 4x + 4 )
lim _{x → -∞} ( 2x² – 2x + 1 ) / ( x² -1 )
lim_{x→ ∞} (3x² – 1)^1/2 / 3x
lim_x→∞ (3-5x)² / (-9x² – x)
lim_x→1 ((2x-1)^1/2 – x^1/2) / (x-1)

Solución

lim_x→3 (x² – 6x + 9)/(x²-9)=(9-18+9)/(9-9)=0/0 → Indeterminación
Este tipo de indeterminación se resuelve:

Factorizamos numerador y denominador
Simplificamos
Volvemos a calcular el límite

x² – 6x + 9=(x-3)²
x²-9=(x-3)(x+3)
lim_x→3 (x² – 6x + 9)/(x²-9)=lim_x→3 (x-3)²/(x-3)(x+3)=lim_x→3 (x-3)/(x+3)=(3-3)/(3+3)=0/6=0

Solución: lim_x→3 (x² – 6x + 9)/(x²-9)=0

lim_x→0 (x³ + 2x² + 4x) / (x² + x)=0/0 → Indeterminación

x³ + 2x² + 4x=x(x²+2x+4)
x²+x=x(x+1)
lim_x→0 (x³ + 2x² + 4x) / (x² + x)=lim_x→0 (x(x²+2x+4))/(x(x+1))=lim_x→0 (x²+2x+4)/(x+1)=4/1=4

Solución:lim_x→0 (x³ + 2x² + 4x) / (x² + x)=4

lim_x→0 x / (1 – (x+1)^1/2)=0/0 → Indeterminación
Para resolver este tipo de indeterminación en funciones irracionales debemos:

multiplicar y dividir por el conjugado
operar y simplificar
volver a calcular el límite

lim_x→0 x / (1 – (x+1)^1/2)=lim_x→0 x(1+(x+1)^1/2) / ((1 – (x+1)^1/2).(1+(x+1)^1/2) =lim_x→0 x(1+(x+1)^1/2) / (1-(x+1))=lim_x→0 x(1+(x+1)^1/2) / (-x) =lim_x→0 -(1+(x+1)^1/2)=-(1+(0+1)^1/2)=2

Solución: lim_x→0 x / (1 – (x+1)^1/2)=2

lim _x→2 ( x² –x – 2 ) / ( x² – 4x + 4 )=0/0 → Indeterminación
Resolvemos como en el primer caso:
x² –x – 2=(x-2)(x+1)
x² – 4x + 4=(x-2)²
lim _x→2 ( x² –x – 2 ) / ( x² – 4x + 4 )=lim _x→2 (x-2)(x+1)/(x-2)²=lim _x→2 (x+1)/(x-2)=3/0 → Indeterminación
La primera indeterminación nos ha llevado a una 2ª indeterminación del tipo k/0.
Este tipo de indeterminaciones se resuelve:

Calculamos los límites laterales
- Si los límites coinciden hay límite y valdrá +∞ o -∞
- Si los límites laterales no coinciden no hay límite

lim _x→2- (x+1)/(x-2)=3/0^-=-∞
lim _x→2+ (x+1)/(x-2)=3/0⁺=+∞
lim _x→2- (x+1)/(x-2)≠lim _x→2+ (x+1)/(x-2) → No hay límite

Solución: NO EXISTE lim _x→2 ( x² –x – 2 ) / ( x² – 4x + 4 )

lim _{x → -∞} ( 2x² – 2x + 1 ) / ( x² -1 )=∞/∞ → Indeterminación
Para resolver este tipo de indeterminación podemos hacer dos cosas

Dividir numerador y denominador por la x de mayor orden del denominador, simplificar y calcular el límite
Aplicar la siguiente regla

Sea n el orden del numerador y m el orden del denominador:

- si n>m → el límite será +∞ o -∞
- si n
- si n=m → el límite será a_n/a_m siendo a_n el coeficiente de la x de mayor orden del numerador y a_m el coeficiente de la x de mayor orden del denominador.

Aplicando esta segunda regla:
lim _{x → -∞} ( 2x² – 2x + 1 ) / ( x² -1 )=2/1=2

Solución: lim _{x → -∞} ( 2x² – 2x + 1 ) / ( x² -1 )=2

lim_{x→ ∞} (3x² – 1)^1/2 / 3x = ∞/∞ → Indeterminación
A pesar de ser una función irracional, la forma de resolverlo es idéntica a la del apartado anterior. Resolvemos según la 1ª forma:
lim_{x→ ∞} (3x² – 1)^1/2 / 3x =lim_{x→ ∞} ((3x² – 1)/x²)^1/2 / (3x/x)= lim_{x→ ∞} ((3x²/x² – 1/x²)^1/2 / (3x/x)= lim_{x→ ∞} ((3 – 1/x²)^1/2 / 3 = √3/3

Solución: lim_{x→ ∞} (3x² – 1)^1/2 / 3x = √3/3

lim_x→∞ (3-5x)² / (-9x² – x)=∞/∞ → Indeterminación
Se resuelve como las dos anteriores. Aplicamos la regla:
lim_x→∞ (3-5x)² / (-9x² – x)=lim_x→∞ (9+25x²-30) / (-9x² – x)=25/-9=-25/9

Solución: lim_x→∞ (3-5x)² / (-9x² – x)=-25/9

lim_x→1 ((2x-1)^1/2 – x^1/2) / (x-1)=0/0 → Indeterminación
Resolvemos como la nº 6, multiplicando y dividiendo por el conjugado:
lim_x→1 (2x-1)^1/2 – x^1/2) / (x-1) = lim_x→1 (2x-1)^1/2 – x^1/2)(2x-1)^1/2 + x^1/2) /(x-1)((2x-1)^1/2 + x^1/2) = lim_x→1 ((2x-1) – x)) /(x-1)((2x-1)^1/2 + x^1/2) =
lim_x→1 (x-1) /(x-1)((2x-1)^1/2 + x^1/2) = lim_x→1 1/((2x-1)^1/2 + x^1/2)=1/2

Solución: lim_x→1 ((2x-1)^1/2 – x^1/2) / (x-1)=1/2

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Solución