Enuncia el teorema del resto.
Calcula los valores de m y n para que el siguiente polinomio tenga como raíces 0 y -1: P(x)=mx⁴ + 6x³ + 11x² + 6x + n
Una vez hallados, factoriza el polinomio e indica el orden de cada raíz.

Solución

Teorema del resto: el resto de dividir el polinomio P(x) entre x-a es igual a P(a), es deicr, al valor del polinomio en x=a

Puesto que 0 y -1  tienen que ser raíces, aplicando el teorema del resto, se deduce que:

P(0)=0 → n=0

P(-1)=0 → m – 6 + 11 – 6 = 0 → m=1

Para factorizar el polinomio: P(x)=x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x=x(x³ + 6x² + 11x + 6), aplicamos Ruffini

Ya sabemos que -1 es una raíz:

LLegados a la ecuación de 2º grado, resolvemos: x² + 5x + 6 = 0 → x = (-5 ± (25-24)^1/2)/2 → x=-2 y x=-3

La factorización de P(x)=1.(x-0)(x+1)(x+2)(x+3)

Hay 4 raíces de orden 1: x=0, x=-1, x=-2 y x=-3

Enuncia el teorema del resto.
Calcula los valores de m y n para que el siguiente polinomio tenga como raíces 0 y –1:
P(x) = mx⁴ + 6x³ + 11x² + 6x + n
Una vez hallados, factoriza el polinomio e indica el orden de cada raiz.

Solución

Si 0 y -1 tienen que ser raíces:
P(0)=0
P(-1)=0

P(0) = m(0)⁴+6(0)³+11(0)²+6(0) + n = 0
P(-1) = m(-1)⁴+6(-1)³+11(-1)²+6(-1) + n = 0

P(0)=n=0 → n=0
P(-1)=m-6+11-6+n=0 → m-1+n=0 → m-1+0=0 → m=1

b) Ahora tenemos que factorizar P(x) = x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x
Primero sacamos factor común de x : P(x) = x(x³ + 6x² + 11x + 6) → La primera raiz es x = 0 ( Ya lo dice el enunciado del ejercicio )
Además, por el enunciado del ejercicio sabemos que x=-1 es una raíz. Si aplicamos Ruffini:

Ahora resolvemos la ecuación de 2º grado: x² + 5x + 6 = 0
x = ( -5 ± √(5² -4.6.1) ) / 2 = ( -5 ± √(25 – 24) ) / 2 → x = (-5 ± 1) / 2 → x = (-5+1)/2 y x = (-5 – 1)/2 → x=-2 y x=-3 serán las otras 2 raíces
Puesto que cada raíz sólo aparece una vez el orden de cada raíz es 1

Factoriza los siguientes polinomios:
a) P(x)=x³+x²-4x-4
b) Q(x)=x⁴-2x³-5x²+6x
c) R(x)=x⁴-13x² + 36

Solución

a) El término independiente de P(x) es -4 → las posibles raíces serán 1,2,4,-1,-2,-4. Vamos probando

Nuestra primera raiz es x=-1
Como ya hemos reducido a un polinomio de grado 2, resolvemos la ecuación de 2º grado:
( Es mejor resolver la ecuación de 2º grado que seguir aplicando Ruffini, puesto que Ruffini sólo nos da las raíces enteras, mientras que la ecuación de 2º grado nos devuelve cualquier raiz )
x²-4=0 → x² = 4 → x = √4 → x=+2; x=-2 serán nuestras otras dos raíces

b) Q(x) no tiene término independiente. Tenemos que sacar factor común de x:
Q(x)=x⁴-2x³-5x²+6x = x(x³ – 2x² – 5x + 6)
Nuestra primera raíz será x=0. Ahora aplicamos Ruffini a x³ – 2x² – 5x + 6
Término independiente: 6. Posibles raíces enteras: 1,2,3,6,-1,-2,-3,-6. Probamos:

Nuestra 2ª raiz es x=1.
Resolvemos la ecuación de 2º grado: x²-x-6=0
x = (1±√(1+24))/2 ; x=(1+5)/2 y x=(1-5)/2; x=3 y x=-2 serán las 2 raíces que nos faltaban

c) R(x)=x⁴-13x² + 36 es una ecuación bicuadrada. Para resolver una ecuación bicuadrada tenemos que hacer un cambio de variable:
z = x² → R(z) = z² -13z + 36
Ahora tenemos una ecuación de 2º grado que sabemos resolver:
z = (13±√(13²-4.36.1))/2 = (13 ±√(169-144))/2 = (13 ±√25)/2 → z = (13 ± 5)/2
z=(13+5)/2 y z=(13-5)/2 ; z=9 y z=4

Deshacemos el cambio de variable:
si z=9 → x²=9 → x=√9 → x=3 y x=-3 serán nuestras primeras 2 raíces
si z=4 → x²=4 → x=√4 → x=2 y x=-2 serán las otras dos raíces