Tres cargas eléctricas de +6μC, +4μC y -2μC respectivamente se encuentran en las posiciones (40,0), (0,30) y (0,0) ( las distancias están expresadas en cm. Calcular la fuerza eléctrica sobre la carga negativa y la energía potencial de esta carga.

Un oscilador armónico constituido por un muelle de masa despreciable y una masa en el extremo de valor 40g tiene un periodo de oscilación de 2s.
a) ¿Cuál debe ser la masa de un segundo oscilador construido con un muelle idéntico al primero para que la frecuencia de oscilación se duplique?
b) Si la amplitud de las oscilaciones en ambos osciladores es 10cm, ¿cuánto vale, en cada caso, la máxima energía potencial del oscilador y la máxima velocidad alcanzada por su masa?

Solución:

a) Si el muelle es idéntico, eso quiere decir que tiene la misma k, puesto que k es una propiedad que depende de las características del muelle y no de la masa que de él se cuelgue.

Para el primer oscilador:
m₁=40g = 0,04kg
T₁=2s → w₁=2Π/T; w₁=Πrad/s
w₁=√k/m₁; k=w₁².m₁

Para el segundo oscilador:
k=w₂².m₂
w₂ = 2 w₁

Puesto que k tiene que ser la misma: w₁².m₁=w₂².m₂; w₁².m₁=(2w₁)².m₂; m₁=4m₂;

m₂=m₁/4 = 0,01kg

b) Un oscilador armónico es un sistema conservativo, de modo que Emec=Ec+Ep=cte

Ep(max)=Emec = kA²/2

Puesto que k y A son las mismas para los dos osciladores, Ep(max) también será la misma.
k=w₁².m₁=0,39N/m
Ep(max)=kA²/2=0,39.0,1²/2 = 1,95.10^-3J

Un muelle cuya constante de elasticidad es k está unido a una masa puntual de valor m. Separando la masa de la posición de equilibrio el sistema comienza a oscilar. Determina:
a) El valor del periodo de las oscilaciones y su frecuencia w ( en función k y m )
b) Las expresiones de las energías cinética, potencial y total en función de la amplitud y de la elongación del movimiento del sistema oscilante.

En una montaña rusa, el cochecito, parte de una altura de 65m. Si no hay rozamiento, calcula la velocidad que llevará cuando se encuentra a una altura de 25m. Una vez que llega al suelo hay un tramo horizontal de vía, de manera que el coche se frena en 15m. Utilizando solo consideraciones energéticas, calcula la fuerza de frenado. Dato: masa=200kg; g=9,8m/s²

Solución:

Hay dos tramos en el movimiento: uno en el que no hay rozamiento y solo actúa la fuerza peso que es conservativa, por lo tanto Emecánica=cte y otro en el que sí que hay rozamiento, que será el que produzca el frenado.

Para el primer tramo: Emec=cte; Ec(inicial) + Ep(inicial) = Ec(final) + Ep(final)

0 + m.g.65 = mv²/2 + m.g.25; g(65-25)=v²/2; v=28m/s

En el segundo tramo sí hay rozamiento y por lo tanto, lo que tendremos que aplicar es:

W_Froz = ΔEc; teorema de las fuerzas vivas

Froz.Δr.cos180=Ec(final)-Ec(inicial)

Cuando el cochecito llega al suelo su Ec=mg65 ( toda la energía potencial inicial se ha transformado en energía cinética )

Froz.15.(-1)=0-mg65; Froz=mg65/15; Froz=8493,33N

Una carga positiva de 2μC se encuentra situada inmóvil en el origen de coordenadas. Un protón moviéndose por el semieje positivo de las X se dirige hacia el origen de coordenadas. Cuando el protón se encuentra en el punto A, a una distancia del origen de x=10m lleva una velocidad de 1000m/s. Calcula:

a) El campo eléctrico que crea la carga situada en el origen de coordenadas en el punto A.
b) El potencial y la energía potencial del protón en el punto A
c) La energía cinética del protón en el punto A
d) El cambio de momento lineal experimentado por el protón desde que parte de A y por efecto de la repulsión vuelve al mismo punto A

Datos: K=9.10⁹Nm²/C²; m_p=1,67.10^-27kg; q_p=1,6.10^-19C

Solución:

a) El campo eléctrico creado por la carga puntual de 2μC en el punto A vendrá dada por la ley de Coulomb:

E=KQ/R²=9.10⁹.2.10^-6/10²=180N/C

Como se trata de una carga positiva, creará un campo hacia afuera, de modo que la dirección y el sentido del campo será: E=(180,0)N/C

b) V=KQ/R=9.10⁹.2.10^-6/10=1800V

Ep=V.q_p=1800V.1,6.10^-19C=2,8810^-16J

c) La energía cinética es la que tiene un cuerpo debido a su velocidad:

Ec=m.v²/2 = 1,67.10^-27.1000²/2=8,3510^-22J

d) El momento lineal es un vector que se define como: p=m.v. Tiene la dirección y el sentido del vector velocidad.

En el momento inicial, cuando se mueve hacia el origen de coordenadas, su velocidad es v=(-1000,0)m/s y por lo tanto, su p(inicial)=(-1,6710^-24,0)kg.m/s.

Por el efecto de la repulsión de la carga que hay en (0,0), el protón se moverá hacia el origen, cada vez más despacio, hasta que se detiene y empieza a moverse en sentido contrario, es decir, en el sentido positivo del eje de las x. Puesto que la única fuerza que actúa es la fuerza de Coulomb que es conservativa, se verificará que: ΔEc=-ΔEp.

Puesto que el punto inicial y el final es el mismo: -ΔEp=0 y por lo tanto ΔEc=0, es decir, llevará la misma velocidad en módulo y dirección, pero de sentido contrario:

Vfinal=(+1000,0)m/s → p(final)=(+1,6710^-24,0)kg.m/s.

La variación de momento lineal será: Δp=p(final)-p(inicial)=(+1,6710^-24,0)-(-1,6710^-24,0)=(+3,3410^-24,0)kg.m/s

De lo alto de un plano inclinado 30º con la horizontal, de 20m de largo, cae, partiendo del reposo, una masa de 3kg, presentando un rozamiento con el plano de 0,2. Determinar:
a) Energía potencial inicial
b) Energía disapada por rozamiento
c) Energía cinética en la base del plano

Solución:

a)La Ep inicial es debida a la altura a la que se encuentra el objeto. Puesto que se trata de un plano inclinado y aplicando razones trigonométricas: sen30 = h/20, h=20.sen30 = 10m
Ep(inicial)=m.g.h=3.9,8.10=294J

b) El rozamiento es una fuerza disipativa, de modo que lo que hará será quitar energía al cuerpo, hará un trabajo negativo:
W=F.Δr= Froz.Δr.cos180º
Froz=N.μ
N=Py=mg.cos30=3.9,8.cos30=25,46N
Froz=25,46.0,2=5,09N
W=5,09.20.(-1)=-101,84J
Puesto que es trabajo negativo, es energía disipada, perdida por el cuerpo.

c) Aplicamos el principio de conservación de la energía:
Einicial = Efinal + |Wdisipado|
Einicial=Eci+Epi=0 + mgh=3.9,8.10=294J
Efinal=Ecf + Epf= Ecf + 0
294 = Ecf + 101,84 → Ecf=294 – 101,84 = 192,16J

De lo alto de una torre de 120m de altura se lanza hacia arriba, con una velocidad de 30m/s una masa de 500g. Determinar a qué altura se encuentra cuando su energía cinética tiene el mismo valor que su energía potencial

Solución

Puesto que la única fuerza que actúa es el peso, la Emec se va a mantener constante a lo largo de todo el movimiento, ya que se trata de una fuerza conservativa

Emecánica inicial = Epi + Eci= mgh + mv²/2 = 0,5.9,8.120 + 0,5.(30)²/2 = 813J

Quiero encontrar el punto en el que Ep=Ec=E

Emecánica=813 = Ec + Ep = 2E → E=406,5J → mgh=406,5; h = 406,5/(0,5.9,8) = 82,96m

Se pone en órbita un satélite artificial de 600kg a una altura de 1200km sobre la superficie de la Tierra. Si el lanzamiento se ha realizado desde el nivel del mar, calcula:
a) Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del satélite
b) Qué energía adicional hay que suministrar al satélite para que escape a la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita
Datos: G=6,67·10^-11Nm²/kg²; Mt=5,98·10²⁴kg; Rt=6,37·10⁶m

Solución:

a) En un campo gravitatorio, la Ep=-G·Mt·m/R, siendo R el radio de la órbita descrita por el satélite.
En la superficie de la Tierra y a nivel del mar: Ep_i=-GMtm/Rt
En la órbita del satélite: Ep_f=-GMtm/R, siendo R=Rt+h=6,37·10⁶ + 1200·10³ = 7,57·10⁶m
ΔEp = Ep_f – Ep_i = -GMtm/R – (-GMtm/Rt) = GMtm(1/Rt – 1/R) = 5,96·10⁹J

b)Aplicamos el principio de conservación de la Energía mecánica, sabiendo que cuando el satélite escapa a la acción del campo, su Ep=0. Si queremos que llegue a ese punto con Ec=0 entonces E + Ep = 0, siendo E la energía que tenemos que suministrar: E = -Ep = GMtm/R = 3,16·10¹⁰J

Un proyectil de masa 10kg se dispara verticalmente desde la superficie de la Tierra con una velocidad de 3200m/s:
a) ¿Cuál es la máxima energía potencial que adquiere?
b) ¿En qué posición se alcanza?
Datos: g = 9,8 m/s²; Rt = 6,37·10⁶ m

Solución:

a) Aplicamos el principio de conservación de la Energía Mecánica por encontrarse el proyectil en el campo gravitatorio terrestre, que es un campo conservativo:

Ep_i = -GM_Tm/Rt
Ec_i = m·v²/2
Ec_f = 0

Debemos resolver el problema con los datos que nos dan:
g = GMt/Rt² → GMt = g.Rt² = 3,98·10¹⁴ (SI)
Ep_f = – 3.98·10¹⁴·10/6,37·10⁶ + 10·3200²/2 = -5,74·10⁸J

b) Para calcular a qué distancia del centro de la Tierra se alcanza dicha energía potencial:
Ep = – G·Mt·m/R –> R = – G·Mt·m/Ep = 6,93·10⁶m

Mercurio describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al Sol es de 6,99·10¹⁰m y su velocidad orbital 3,88·10⁴m/s, siendo su distancia al Sol en el perihelio de 4,60·10¹⁰m.
a) Calcula la velocidad orbital de Mercurio en el perihelio
b) Calcula la energía cinética, mecánica y potencial de Mercurio en el perihelio
c) Calcula el módulo de su momento lineal y de su momento angular en el perihelio.
d) De las magnitudes calculadas en los apartados anteriores, decir cuáles son iguales que en el afelio.
Datos:
        M_M=3,18·10²³ kg
        M_Sol= 1,99·10³⁰kg
        G = 6,67·10^-11 Nm²/kg²

Solución: