Una sonda de masa 5000kg se encuentra en una órbita circular a una altura sobre la superficie terrestre de 1,5R_T. Determina:
a) Momento angular de la sonda en esa órbita con respecto al centro de la Tierra.
b) Energía que hay que comunicar a la sonda para que escape del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita.
Datos: M_t=5,98.10²⁴kg; R_t=6,37.10⁶m; G=6,67.10^-11N.m²/kg²

Solución:

a) Puesto que se trata de una órbita circular producida por la fuerza gravitatoria, se debe cumplir que la fuerza de Newton sea igual a una fuerza normal que es la que se produce en el M.C.U.: GMm/R²=mv²/R → v=(GM/R)^1/2=5004,65m/s

R=Rt+h=Rt+1,5Rt=2,5Rt

Nos piden calcular el módulo del momento angular: L= mvxR

|L|=mvR.sen90=mvR=3,98.10²⁴ kg.m²/s

b) Escapar del campo gravitatorio significa llevarlo hasta el infinito, donde la E=0. Aplicando el principio de conservación de la energía: Einicial + Eescape = Efinal = 0

Einicial = Ec(inicial) + Ep(inicial)

Como se trata de una órbita circular: Einicial = Ep(inicial)/2 = -GMm/2R= -6,26.10¹⁰ J

Eescape=-Einicial = 6,26.10¹⁰ J

Se pone en órbita un satélite artificial de 600kg a una altura de 1200km sobre la superficie de la Tierra. Si el lanzamiento se ha realizado desde el nivel del mar, calcula:
a) Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del satélite
b) Qué energía adicional hay que suministrar al satélite para que escape a la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita
Datos: G=6,67·10^-11Nm²/kg²; Mt=5,98·10²⁴kg; Rt=6,37·10⁶m

Solución:

a) En un campo gravitatorio, la Ep=-G·Mt·m/R, siendo R el radio de la órbita descrita por el satélite.
En la superficie de la Tierra y a nivel del mar: Ep_i=-GMtm/Rt
En la órbita del satélite: Ep_f=-GMtm/R, siendo R=Rt+h=6,37·10⁶ + 1200·10³ = 7,57·10⁶m
ΔEp = Ep_f – Ep_i = -GMtm/R – (-GMtm/Rt) = GMtm(1/Rt – 1/R) = 5,96·10⁹J

b)Aplicamos el principio de conservación de la Energía mecánica, sabiendo que cuando el satélite escapa a la acción del campo, su Ep=0. Si queremos que llegue a ese punto con Ec=0 entonces E + Ep = 0, siendo E la energía que tenemos que suministrar: E = -Ep = GMtm/R = 3,16·10¹⁰J

Mercurio describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al Sol es de 6,99·10¹⁰m y su velocidad orbital 3,88·10⁴m/s, siendo su distancia al Sol en el perihelio de 4,60·10¹⁰m.
a) Calcula la velocidad orbital de Mercurio en el perihelio
b) Calcula la energía cinética, mecánica y potencial de Mercurio en el perihelio
c) Calcula el módulo de su momento lineal y de su momento angular en el perihelio.
d) De las magnitudes calculadas en los apartados anteriores, decir cuáles son iguales que en el afelio.
Datos:
        M_M=3,18·10²³ kg
        M_Sol= 1,99·10³⁰kg
        G = 6,67·10^-11 Nm²/kg²

Solución:

terrestre y en el sentido de rotación de la Tierra. Si se quiere que el satélite pase periódicamente sobre un punto del Ecuador cada dos días, calcule:
a) La altura sobre la superficie terrestre a la que hay que colocar el satélite.
b) La relación entre la energía que hay que comunicar a dicho satélite desde el momento de su lanzamiento en la superficie terrestre para colocarlo en esa órbita y la energía mínima de escape en dicha órbita.

Datos: G = 6,67·10^-11 Nm²/kg²
R_T = 6370km
M_T = 5,98·10^-24kg

Solución:

a)
Si cada dos días debe pasar por el mismo punto del Ecuador, es porque su periodo es T=2días = 48horas = 172800s
w = 2(π)/T = 3,64·10^-5rad/s
Por ser una órbita circular sabemos que se verifica que: m·w²·R=GM_Tm/R² → R³ = GM_T/w² →
R = 6,70·10⁷m = 67000km
La altura sobre la tierra será: h = R – R_T = 67000-6370=60630km → h = 60630km

b) Por estar en el campo gravitatorio terrestre, sabemos que la E_mec se conserva
E_mec = Ec_i + Ep_i = Ec_f + Ep_f 

En la superficie terrestre: Ec_i = 0; Ep_i = -GM_Tm/R_T
La energía que hay que comunicar para ponerlo en órbita será el trabajo realizado en contra del campo: W = AEp = Ep_f – Ep_i = -GM_Tm (1/R – 1/R_T)
La energía mínima de escape desde la superficie terrestre será la energía necesaria para hacerlo escapar de la atracción de la Tierra, es decir, llevarlo hasta oo, donde su Ep será 0.
E_escape = GM_Tm/R_T

La relación entre ambas: E_{para ponerlo en órbita}/E_escape = GM_Tm (1/R_T – 1/R)/GM_Tm/R_T = (1/R_T – 1/R)/(1/R_T) = 1 – R_T/R

Un planeta esférico tiene un radio de 3000km y la aceleración de la gravedad en su superficie es de 6m/s².
a) ¿Cuál es su densidad media?
b) ¿Cuál es la velocidad de escape para un objeto situado en la superficie de este planeta?
Datos: G = 6’67.10^-11 N.m²/kg²

Se pone en órbita un satélite artificial de 600kg a una altura de 1200km sobre la superficie de la Tierra. Si el lanzamiento se ha realizado desde el nivel del mar, calcula:
a) Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del satélite
b) Qué energía adicional hay que suministrar al satélite para que escape a la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita.
Datos: G=6,67.10^-11(SI); M_T=5,98.10²⁴kg; R_T=6,37.10⁶m

1. Desde la superficie de la Tierra se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad v. Si se desprecia el rozamiento, calcula el valor de v necesario para que el objeto alcance una altura igual al radio de la Tierra.
2. Si se lanza el objeto desde la superficie de la Tierra con una velocidad doble a la calculada en el apartado anterior, ¿escapará o no del campo gravitatorio terrestre?
   Datos: M_T=5,98.10²⁴kg; R_T=6370km; G=6,67.10^-11 (S.I.)