Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (6+2x)^1/2 – (4+x)^1/2=1

b) (2-3x)/(x-3) – x²/(x²-5x+6) = -2x/(x-2)

Solución:

a) Se trata de una ecuación irracional, de manera que debemos elevar al cuadrado ambos términos de la ecuación para eliminar las raíces:

[(6+2x)^1/2 - (4+x)^1/2]²=(1)² ; (6+2x) + (4+x) -2(6+2x)^1/2.(4+x)^1/2=1

Aislamos las raíces y volvemos a elevar al cuadrado para quitar definitivamente las raíces:

3x+9 = 2(6+2x)^1/2.(4+x)^1/2; (3x+9)² = [2(6+2x)^1/2.(4+x)^1/2]²

9x² + 81 + 54x = 4(24 + 14x + 2x²); x² – 2x – 15 = 0

Resolvemos la ecuación de 2º grado: x = ( 2 ± (4+60)^1/2)/2 = (2±8)/2; x=5, x=-3

Tenemos 2 posibles soluciones. Debemos comprobar si de verdad son soluciones, puesto que se trata de una ecuación irracional y al elevar al cuadrado podemos estar introduciendo soluciones que no lo sean de nuestra ecuación original:

x=5; √16 – √9 = 1 → x=5 es solución

x=-3; √0 – √1 = 1 → -1=1 → x=-3 no es solución

Solución: x=5

b) Se trata de una ecuación racional, de modo que el primer paso será factorizar los denominadores para encontrar el denominador común y quitar denominadores:

x²-5x+6=(x-3)(x-2)

(2-3x)/(x-3) – x²/(x²-5x+6) = -2x/(x-2); (2-3x)(x-2)/(x-2)(x-3) – x²/(x²-5x+6) = -2x(x-3)/(x-2)(x-3);

(2-3x)(x-2) – x² = -2x(x-3); x²-x+2=0

Resolvemos la ecuación de 2º grado: x=( 2 ± (1-8)^1/2)/2 → No hay solución puesto que nos queda la raíz de un número negativo

Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones:

• x⁵-x⁴-2x³+x+1=0
• (2x-1)^1/2 + (2x+1)^1/2=1/(2x-1)^1/2
• x/(x+1) + (x+1)/x = 13/6
• |x- 3/4| ≤ 1/2
• |2x+3| > 6
• x(x+5) > 2x²
• (x²-2x+1)/(x²-1) ≥0
• (3x-11)/20 – (5x+1)/14 = (x-7)/10 – (5x-6)/21
• x + (5x+10)^1/2 = 8
• 6x³ + x² – 26x – 21 = 0