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Representación gráfica: función a trozos

Aurora Lucas — Mon, 22 Feb 2010 17:30:38 +0000

Sea la siguiente función f(x):
| x³ – 2x² + x -1 si x≤1
| (x+3)/(x-2) si x>1
Calcula:
a) Dominio y continuidad
b) Monotonía
c) Asíntotas
d) Representa gráficamente

Solución:

a) Se define dominio de una funcióno como los valores que puede tomar la variable independiente (x) para que exista la variable dependiente (y). Puesto que se trata de una función a trozos, detemos estudiar el dominio de cada trozo y ver si existe algún problema en su tramo de definición.

x³ – 2x² + x -1 es un polinomio. No hay problemas en su dominio

(x+3)/(x-2) es una función racional, que tendrá problemas de dominio en los ceros del denominador: x-2=0; x=2. Este punto pertenece a su tramo de definición, que es (1, +∞), luego constituye un problema del dominio de la función total.

Dom f(x) = { x € R – x=2} = x € (-∞, 2) U (2, +∞)

El único punto conflictivo en el estudio de la continuidad será el punto de separación de los dos tramos de la función: x=1

Para que una función sea continua en un punto x=a se debe cumplir que:
1. Exista f(a)
2. Exista límite: Lim _x→a- f(x) = Lim _x→a+ f(x) = Lim _x→a f(x)
3. f(a) =Lim _x→a f(x)

Si no se cumple la 2ª condición, la función será discontinua inevitable en x=a.
Si no se cumple la 3ª condición, la función será discontinua evitable en x=a.

Vemos qué pasa en x=1.
* f(1) = (1)³ – 2(1)² + 1 -1 = -1
* Lim _x→1- f(x) = Lim _x→1-x³ – 2x² + x -1 = (1)³ – 2(1)² + 1 -1 = -1
Lim _x→1+ f(x) = Lim _x→1+ (x+3)/(x-2) = (1+3)/(1-2) = 4/-1 = -4
-1 ≠ -4 –> no existe Lim _x→1 f(x) –> La función f(x) es discontinua inevitable en x=1

La función f(x) es continua en todo su dominio salvo en x=1 donde presenta una discontinuidad inevitable.

b) Para estudiar la monotonía, tenemos que calcular la derivada de una función a trozos: f’(x) =
|3x² -4x + 1 si x<1
|-5/(x-2)² si x>1

(NOTA: no incluimos el 1, puesto que donde la función no es continua, tampoco va a ser derivable)

Calculamos los puntos que verifican que f’(x) = 0

3x² -4x + 1=0; x=1 y x=1/3. Puesto que ambos puntos pertenecen al tramo en el que está definida nuestra función, serán posibles extremos relativos.
Si estudiamos el signo:
(-∞, 1/3 ) f’(x) >0 –> f(x) Creciente
(1/3, 1) f’(x) >0 –> f(x) Decreciente
(x=1/3, f(1/3))=(1/3, -23/27) es un máximo relativo

Estudiamos ahora el otro tramo de la función:
f’(x) = 0 ; -5/(x-2)² = 0 –> No es posible. No hay posibles extremos relativos
(1, +∞) f’(x) < 0 –> f(x) Decreciente

c) Solo puede haber asíntotas en el 2º tramo de la función, puesto que el primer tramo es un polinomio.

Asíntota horizontal: x-2=0; x=2

Asíntota vertical: y=Lim _x→+∞ f(x) = Lim _x→+∞ (x+3)/(x-2) = 1; y=1

d) Representación gráfica

Aparecen las gráficas de 3 funciones:
La línea verde (x=1) corresponde a la línea de separación de los dos tramos de la función.
A la derecha de la línea verde, deberemos quedarnos con la representación azul ( y=(x+3)/(x-2) )
A la izquierda de la línea verde, deberemos quedarnos con la representación roja ( y= x³ – 2x² + x -1)

Representanción de función racional con asíntota oblicua

Aurora Lucas — Mon, 22 Feb 2010 17:22:01 +0000

Sea la función: f(x) = x² / ( x + 4 )
Determina: dominio, monotonía, asíntotas, tangente en el punto x=1, puntos de corte con los ejes y representa gráficamente.

Solución

DOMINIO

Se trata de una función racional, de modo que el único problema será el 0 del denominador:
x+4=0; x=-4
Dom f(x)={x ∈R excepto x=-4}

MONOTONÍA
- Calculamos f’(x)

f’(x)=((x²)’.(x+4)-x²(x+4)’)/(x+4)²=(2x.(x+4)-x².1)/(x+4)²=(2x²+8x-x²)/(x+4)²=(x²+8x)/(x+4)²

- Calculamos f’(x) para obtener los posibles extremos relativos:

f’(x)=0; (x²+8x)/(x+4)²=0; x²+8x=0; x(x+8)=0
x=0
x+8=0; x=-8
Posibles extremos relativos: x=0, x=-8

- Dividimos la recta real en intervalos teniendo en cuenta los ceros del denominador y los posibles extremos relativos y calculamos el signo de f’(x) en dichos intervalos.

(-∞,-8) f’(-10)=(100-80)/+ > 0 → f(x) CRECIENTE en este intervalo
(-8,-4) f’(-5)=(25-40)/+ < 0 → f(x) DECRECIENTE en este intervalo
(-4,0) f’(-1)=(1-8)/+ < 0 → f(x) DECRECIENTE en este intervalo
(0,+∞) f’(1)=(1+8)/+ > 0 → f(x) CRECIENTE en este intervalo

Puesto que en torno a x=-8 la función primero crece y luego decrece, se trata de un MÁXIMO
Puesto que en torno a x=0 la función primero decrece y luego crece, se trata de un MÍNIMO
Los puntos serán x=-8, f(-8)=(-8)²/(-8+4)=-16 → (-8,-16) MÁXIMO
x=0, f(0)=0²/(0+4)=0 → (0,0) MÍNIMO

ASÍNTOTAS

Asíntotas Verticales
Son los ceros del denominador: x+4=0; x=-4
Calculamos los límites laterales para representar:
Lim_x→-4- x² / (x+4) =16/0^- = -∞
Lim_x→-4+ x² / (x+4) =16/0⁺ = +∞
Puesto que el orden del numerador es una unidad superior al orden del denominador, habrá asíntota oblicua:
Asíntota Oblicua
y=ax+b
a=lim_x→∞ f(x)/x =lim_x→∞ x²/(x+4) : x/1=lim_x→∞ x²/x(x+4)=lim_x→∞ x²/(x²+4x) = 1/1=1
b=lim_x→∞ f(x)-ax=lim_x→∞ x²/(x+4) – x = lim_x→∞ (x² – x(x+4))/(x+4)=lim_x→∞ (x²-x²-4x)/(x+4)=lim_x→∞ (-4x)/(x+4)=-4/1=-4

asíntota oblicua: y=x-4

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

x=0 → f(0)=0²/(0+4)=0
Punto (0,0)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

TANGENTE EN x=1
- Calculamos el punto x=1 → f(1)=1²/(1+4)=1/5

El punto es (1,1/5)
La ecuación de la recta tangente será: y=mx+n y debe cumplir que:

- m=f’(x=1)=(1²+8.1)/(1+4)²=9/25
- La recta debe pasar por el punto (1,1/5), es decir

1/5=9/25.1+n → 1/5-9/25=n → (5-9)/25=n → -4/25=n

Recta tangente en x=1: y=9x/25 – 4/25 = (9x-4)/25

Representación de función racional con asíntota horizontal

Aurora Lucas — Mon, 22 Feb 2010 17:19:15 +0000

Sea la siguiente función: f(x) = (x²+1) / ( x²-1 ). Determina:
a) Dominio
b) Monotonía de la función
c) Asíntotas
d) Puntos de corte con los ejes y representa gráficamente
e) Tangente de la gráfica en el punto x = 2

Solución

DOMINIO

Puesto que se trata de una función racional los únicos problemas serán los ceros del denominador: x²-1=0 → x²=1; x=√1; x=1, x=-1

::Domf(x)={x∈R excepto x=1 y x=-1}

MONOTONÍA
- Calculamos la derivada:

f’(x)=((x²+1)’(x²-1)-(x²+1)(x²-1)’) / (x²-1)²=
(2x(x²-1)-(x²+1).2x) / (x²-1)²=(2x³-2x-2x³-2x)/(x²-1)²=-4x/(x²-1)²

- Igualamos la derivada a cero para obtener los posibles extremos relativos

f’(x)=0; -4x/(x²-1)²=0; -4x=0; x=0
Posible extremo relativo: x=0

- Divido la recta real en intervalos teniendo en cuenta los posibles extremos relativos y los ceros del denominador y estudio el signo de la derivada en dichos intervalos:

(-∞,-1) f’(-2)=-4(-2)/+ > 0 → f(x) es CRECIENTE en este intervalo
(-1,0) f’(-0,5)=-4(-0,5)/+ > 0 → f(x) es CRECIENTE en este intervalo
(0,1) f’(0,5)=-4(0,5)/+ < 0 → f(x) es DECRECIENTE en este intervalo
(1,+∞) f’(2)=-4.2/+ < 0 → f(x) es DECRECIENTE en este intervalo

En torno a x=0 la función primero crece y luego decrece → es un MÁXIMO
x=0, f(x=0)=(0²+1)/(0²-1)=1/-1=-1

::MÁXIMO: (0,-1)

ASÍNTOTAS

Asíntotas Verticales: Las A.V. son los ceros del denominador de la función:
x=1 y x=-1
Para representar debemos calcular los límites laterales, de modo que sepamos si en torno a las asíntotas, la función va a +∞ o a -∞
x=1
lim_x→1- (x²+1) / ( x²-1 )=2/0^- = -∞
lim_x→1+ (x²+1) / ( x²-1 )=2/0⁺ = +∞
x=-1
lim_x→-1- (x²+1) / ( x²-1 )=2/0⁺ = +∞
lim_x→-1+ (x²+1) / ( x²-1 )=2/0^- = -∞

Puesto que el orden del numerador es igual al orden del denominador, habrá asíntota horizontal y no oblicua. Estas asíntotas determinan a qué se aproxima la función cuando x tiende a +∞ o a -∞
Asíntota Horizontal:
y=lim_x→∞ (x²+1) / ( x²-1 ) = ∞/∞ Indeterminación
Puesto que el orden del numerador es igual que el del denominador, aplicamos la regla:
y=lim_x→∞ (x²+1) / ( x²-1 ) = 1/1 = 1 → y=1

A.V. x=1 y x=-1; A.H. y=1

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

f(x)=(x²+1) / ( x²-1 )
x=0 → f(0) = 1/1=1 → (0,1)
f(x)=0 → x²+1=0 → x²=-1 → x=√-1 Imposible

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

TANGENTE EN x=2
- Obtenmos el punto donde queremos calcular la tangente

x=2 → f(2)=(2²+1)/(2²-1)=5/3 → (2 , 5/3)
La ecuación de la recta tangente es y=mx+n
La tangente tiene que cumplir 2 condiciones

- m=f’(x=2)=-4.2/(2²-1)²=-8/9
- La recta tiene que pasar por el punto (2,5/3), es decir,

5/3=-8/9 ·2 + b; 5/3=-16/9 + b; 5/3+16/9=b; (15+16)/9=b; b=31/9

Recta tangente: y=-8x/9 + 31/9 = (31-8x)/9

Representación de función polinómica

Aurora Lucas — Fri, 19 Feb 2010 13:02:28 +0000

Sea la siguiente función: f(x) = 3x⁴+4x³-12x²+2. Determina: a) Dominio b) Monotonía de la función c) Representación gráfica d) Tangente de la gráfica en el punto x=-1

Solución

DOMINIO

Puesto que se trata de un polinomio Dom f(x)={x∈R}

MONOTONÍA
- Calculamos la derivada:

f’(x)=12x³+12x²-24x

- Igualamos la derivada a 0 para encontrar los posibles extremos relativos.

f’(x)=0 → 12x³+12x²-24x=0 → x(12x²+12x-24)=0
x=0
12x²+12x-24=0 → x²+x-2=0 → x=1, x=-2
Posibles extremos relativos: x=0, x=1, x=-2

- Dividimos la recta real en intervalos teniendo en cuenta los extremos relativos y estudiamos el signo de la derivada:

(-∞,-2) f’(x)<0 → f(x) es DECRECIENTE en este intervalo
(-2,0) f’(x)>0 → f(x) es CRECIENTE en este intervalo
(0,1) f’(x)<0 → f(x) es DECRECIENTE en este intervalo
(1,+∞) f’(x)>0 → f(x) es CRECIENTE en este intervalo

Como en torno a x=-2 la monotonía pasa de decreciente a creciente, este punto es un MÍNIMO. f(-2)=-30
Como en torno a x=0 la monotonía pasa de creciente a decreciente, este punto es un MÁXIMO. f(0)=2
Como en torno a x=1 la monotonía pasa de decreciente a creciente, este punto es un MÍNIMO. f(1)=-3

MÍNIMOS: (-2,-30) y (1,-3) MÁXIMO: (0,2)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

TANGENTE EN EL PUNTO DE COORDENADA x=-1
Obtenemos el punto donde queremos calcular la tangente

x=-1, f(-1)=12(-1)³+12(-1)²-24(-1)=-11 → punto (-1,-11)
La recta tangente tendrá como ecuación y=mx+n y debe cumplir que:

m=f’(x=-1)
y=mx+n pasa por el punto (-1,-11), es decir -11=m.(-1) + n

m=12(-1)³+12(-1)²-24(-1)=24
-11=24.(-1)+n → n=13

Recta tangente: y=24x+13

Examen 1Ev2009p6-Dominio y recorrido. Funciones inversas

Aurora Lucas — Fri, 04 Dec 2009 08:34:41 +0000

¿Qué son funciones inversas? Calcula el dominio y el recorrido de y=7x/(2x-3)

Solución:

Funciones inversas son aquellas que lo que hace la una lo deshace la otra y lo que hace la otra lo deshace la una. Matemáticamente: si f(x) y g(x) son funciones inversas → f(g(x))=g(f(x))=x

Dominio: puesto que se trata de una función racional, los únicos puntos que no pertenecerán al dominio de la función serán los que hacen 0 el denominador de la función:

2x-3=0; x=3/2

Dom (f(x)) = { x € R – x=3/2 } = x € (-∞, 3/2) U (3/2 , +∞)

Para estudiar el recorrido de la función tenemos que recurrir a una propiedad que cumplen las funciones inversas: si f(x) y g(x) son funciones inversas → Dom(f(x))=Rec(g(x)) y Rec(f(x))=Dom(g(x))

Si calculamos g(x) y estudiamos su dominio, tendremos Rec(f(x))

Para encontrar la inversa de una función lo que haremos será cambiar la x por la y en f(x) y después despejar la y:

x=7y/(2y-3); x(2y-3)=7y; 2xy – 3x = 7y; 2xy – 7y = 3x; y(2x-7)=3x; y = 3x/(2x-7)

g(x) = 3x/(2x-7) ← función inversa de f(x)

Puesto que se trata de una función racional, su dominio será:

Dom(g(x))= { x € R excepto 2x-7=0 }= { x € R – x=7/2 } = x € (-∞, 7/2) U (7/2 , +∞)

Rec(f(x))=Dom(g(x))={ x € R – x=7/2 } = x € (-∞, 7/2) U (7/2 , +∞)

Examen 1Ev2009p5-Dominio

Aurora Lucas — Fri, 04 Dec 2009 08:25:04 +0000

Determina el dominio de la siguiente función:
f(x)=(x²-4)^1/2 / ( x² – 3x – 4 )

Solución:

Dominio de una función son los valores que puede tomar la variable independiente (x) para que exista la variable dependiente (y).

En este caso tenemos una función racional, que además tiene una raíz, luego debera cumplir dos cosas:

1. Que el denominador sea distinto de 0 → x² – 3x – 4 ≠ 0

2. Que el radicando sea mayor o igual que 0 → x²-4 ≥ 0

x² – 3x – 4=0 → x=4 y x=1 → Estos valores de x no pueden pertenecer al dominio de f(x)

x²-4 ≥ 0 → se trata de una inecuación no lineal, de modo que deberemos resolverla factorizando y estudiando el signo de cada factor

x²-4=0; x=2, x=-2; x²-4=(x-2)(x+2)

	(-∞,-2)	(-2,2)	(2,+∞)
(x+2)	-	+	+
(x-2)	-	-	+
(x-2)(x+2)	+	-	+

Verifican la inecuación x € (-∞,-2]U[2,+∞), pero además tenemos que tener en cuenta el resultado de la primera condición: x no puede ser ni 4, ni 1. 1 ya no está incluido, pero 4 sí, de modo que debemos sacarlo de la solución:

Solución: dom(f(x)) = { x € (-∞,-2]U[2,4) U(4,+∞)}

Dominio, continuidad y asíntotas-S2003B2

Aurora Lucas — Fri, 20 Nov 2009 18:42:32 +0000

Sea la función:
f(x) = ( -x³ + 1 ) / ( 2x² + 2x – 12 )
Se pide:
a) Especificar su dominio de definición
b) Estudiar su continuidad
c) Calcular las asíntotas si las hubiera

Solución

a) Por tratarse de una fracción de polinomios, el dominio estará formado por todos los puntos que pertenecen a R salvo aquéllos que hacen “0″ el denominador:

2x² + 2x -12 = 0
x = (-2 ± (4 + 96)^1/2)/4 = (-2 ±10)/4
x₁ = (-2 + 10)/4 = 2
x₂ = (-2-10)/4 = -3

Dom f(x) = { x E R – {x=2, x=-3}}

b) Por tratarse de un cociente de polinomios, la función será continua en todo su dominio de definición.
Por abuso de lenguaje, podemos estudiar la discontinuidad en los puntos que no pertenecen al dominio.
x=2
lim_{(x → 2^-)} f(x) = -∞
lim_{(x → 2⁺)}f(x) = +∞
Por abuso de lenguaje, f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=2
x=-3
lim_{(x → -3^-)} f(x) = +∞
lim_{(x → -3⁺)}f(x) = -∞
Por abuso de lenguaje, f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=-3

Solución: la función es continua en todo su dominio y por abuso de lenguaje podemos decir que presenta discontinuidades inevitables en x=2 y x=-3

c)
Asíntotas verticales:
x=2 y x=-3 ( son los puntos que hacen “0″ el denominador )

Asíntotas horizontales:
Serán los puntos a los que se acerca la función cuando x → ±∞
lim_{(x → ±∞)} f(x) = ±∞
No hay asíntotas horizontales –> puede haber asíntotas oblicuas

Asíntotas oblicuas:
Una asíntota oblicua es una recta del tipo y = mx + b donde:
m = lim_{(x → ±∞)} f(x)/x = lim_{(x → ±∞)} (-x³ +1)/(2x³+2x²-12x) = -1/2
b = lim_{(x → ±∞)} (f(x) – m·x) = lim_{(x → ±∞)} (-x³+1 -(-1/2)(2x² + 2x -12))/(2x² + 2x -12 ) = lim_{(x → ±∞)} (x²-5)/(2x² + 2x -12 ) = 1/2
Solución: y = -1/2x + 1/2

Dominio, continuidad y asíntotas-S2003B2

Aurora Lucas — Fri, 20 Nov 2009 18:35:05 +0000

Sea la función:
f(x) = x / (1-x²)
Se pide:
a) Especificar su dominio de definición
b) Estudiar su continuidad
c) Calcular las asíntotas si las hubiera

Solución

a) Por tratarse de una fracción de polinomios, el dominio estará formado por todos los puntos que pertenecen a R salvo aquéllos que hacen “0″ el denominador:
2x² + 2x -12 = 0
x = (-2 ± (4 + 96)^1/2)/4 = (-2 ±10)/4
x₁ = (-2 + 10)/4 = 2
x₂ = (-2-10)/4 = -3

Dom f(x) = { x E R – {x=2, x=-3}}

Solución: la función es continua en todo su dominio y por abuso de lenguaje podemos decir que presenta discontinuidades inevitables en x=2 y x=-3

c)
Asíntotas verticales:
x=2 y x=-3 ( son los puntos que hacen “0″ el denominador )

Asíntotas horizontales:
Serán los puntos a los que se acerca la función cuando x → ±∞
lim_{(x → ±∞)} f(x) = ±∞
No hay asíntotas horizontales –> puede haber asíntotas oblicuas

Dominio y recorrido. Función inversa

Aurora Lucas — Sat, 14 Nov 2009 14:22:16 +0000

Dada las siguiente función:
f(x) = (3x²) / (x²-1)
a) Calcula su función inversa
b) Estudia su dominio y su recorrido

Solución

La _función inversa_ de f(x) es una función g(x) que verifica que f(g(x)) = g(f(x)) = x

Para encontrar la función inversa lo que hacemos es sustituir y por x y x por y. Después despejamos y.
y=(3x²) / (x²-1) → x = (3y²) / (y²-1)
Quitamos el denominador → x(y²-1)=3y²
Desarrollamos el paréntesis → xy² – x = 3y²
Ponemos del mismo lado todo lo que tiene y → xy² – 3y² = x
Sacamos factor común de y² → y²(x-3)=x
Despejamos y² → y² = x / (x-3)
Despejamos y → y = (x/(x-3))^1/2

La función inversa es g(x)=(x/(x-3))^1/2

b) Se trata de una función racional, de modo que la función sólo puede tener problemas de dominio en los puntos que hacen “0″ el denominador de la función.
x²-1=0 → x²=1 → x=√1 → x=1 y x=-1

Solución: Dom f(x) = {x∈R excepto x²-1=0}={x∈R excepto x=1 y x=-1}={x∈(-∞,-1)U(-1,1)U(1,+∞)}

Para estudiar el recorrido de la función necesitamos conocer la función inversa:
Si f(x) y g(x) son funciones inversas se verifica que: Domf(x)=Recg(x) y Recf(x)=Domg(x)
Estudiando el Recg(x) tendremos el Domf(x)
g(x)=(x/(x-3))^1/2
Puesto que se trata de una función irracional Domg(x) = {x∈R / x/(x-3) ≥ 0}
Debemos resolver una inecuación no lineal por lo que habrá que factorizar numerador y denominador y estudiar el signo de cada factor.
x=0 → raíz x=0
x-3=0 → raíz x=3

	(-∞,0)	(0,3)	(3,+∞)
x	-	+	+
x-3	-	-	+
x/(x-3)	+	-	+

Puesto que buscamos x/(x-3) ≥ 0 nos quedaremos con los intervalos “+” y con los que hacen “0″ el cociente, es decir, con los ceros del numerador

Solución: Rec f(x) = Dom g(x) = {x∈(-∞,0]U(3,+∞)}

Dominio y recorrido de una función

Aurora Lucas — Sat, 14 Nov 2009 14:19:55 +0000

Obtén la función inversa de f(x) = x / (2x-3). Demuestra que lo es. Calcula el dominio y el recorrido de f(x).

Solución

a) Para calcular la inversa lo que tenemos que hacer es cambiar x por y e y por x y luego despejar la y.
y = x / (2x-3) → función inversa x = y / (2y-3) → quitamos el denominador → x(2y-3) = y → Quitamos el paréntesis → 2yx – 3x = y → Ponemos de un lado todo lo que tiene y y del otro lo que no la tiene →
2yx – y = 3x → Sacamos factor común de y → y(2x-1) = 3x → Despejamos y → y = 3x / (2x-1)

Función inversa: g(x) = 3x / (2x-1)

b) Para demostrar que g(x) es la función inversa de f(x) debemos recurrir a la definición:
f(x) y g(x) son funciones inversas si: f(g(x)) = g(f(x)) = x

c) Puesto que f(x) es una función racional, no pertenecerán al dominio de f(x) los puntos que hecen 0 el denominador de la función:

Dom f(x) = { x ∈R excepto 2x-3=0 } = { x ∈R excepto x=3/2 } = { x ∈(-∞,3/2)U(3/2,∞) }

Para calcular el recorrido de f(x) deberemos recurrir a la función inversa, puesto que las funciones inversas verifican que:
Si f(x) y g(x) son funciones inversas → Dom f(x) = Rec g(x) y Rec f(x) = Dom g(x)
Calcularemos el Dom g(x) para conocer el Rec f(x)
g(x) es una función racional → Dom g(x) = { x ∈R excepto 2x-1=0 } = { x ∈R excepto x=1/2 } = { x ∈(-∞,1/2)U(1/2,∞) }

Rec f(x) = { x ∈R excepto x=1/2 } = { x ∈(-∞,1/2)U(1/2,∞) }