Se supone que el tiempo de una conversación en un teléfono móvil se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 1,32 minutos. Se desea estimar la media del tiempo de las conversaciones mantenidas con un error inferior o igual en valor absoluto a 0,5 minutos y con un grado de confianza del 95%.

1. Calcúlese el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar para llevar a cabo dicha estimación mediante la media muestral.
2. Si se supone que la media del tiempo de las conversaciones es de 4,36 minutos y se elige una muestra aleatoria simple de 16 usuarios, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de las conversaciones de la muestra esté comprendido entre 4 y 5 minutos?

Solución:

1.- Nos piden el tamaño mínimo que deben tener las muestras para que el error en las medias muestrales difiera menos del 5% con un nivel de confianza del 95%.

El error tiene el siguiente comportamiento: ε = σ.Z/√n

siendo σ la desviación típica de la población: 1,32 minutos

Z: p(z≤Z)=0,95 + 0,05/2 = 0,975 → Z = 1,96

n: tamaño mínimo de la muestra

0,5 < 1,32.1,96/√n → n > (1,32.1,96/0,5)²=26,8 → n=27

2.- La distribución normal que siguen las medias muestrales de tamaño n=16 será: N(4,36 , 1,32/√16) = N(4,36 , 0,33)

Nos piden calcular la siguiente probabilidad: p(4≤x≤5) = p(x≤5) – p(x≤4)

Para poder utilizar la tabla de N(0,1), tendremos que tipificar:

z1=(5-4,36)/0,33 = 1,94

z2=(4-4,36)/0,33 = -1,09

p(4≤x≤5) = p(x≤5) – p(x≤4) = p(z≤1,94) – p(z≤-1,09)

p(z≤1,94) = 0,9738

p(z≤-1,09) = p(z ≥ 1,09) = 1 – p(z≤1,09) =  1 – 0,8508

p(4≤x≤5) = p(x≤5) – p(x≤4) = p(z≤1,94) – p(z≤-1,09) = 0,9738 – (1 – 0,8508) = 0,8246 = 82,46%

Una variable aleatoria X tiene una distribución normal siendo su desviación típica igual a 3.
a) Si se consideran muestras de tamaño 16, ¿qué distribución sigue la variable aleatoria media muestral?
b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en más de 1 unidad de la media de la población, con probabilidad de 0,99; ¿cuántos elementos, como mínimo, deberían tomar en la muestra?

Solución:

a) población: N(µ,3) –> muestra: N(µ,3/√16)
b) n=60

La duración de las baterías de un determinado modelo de teléfono móvil tiene una distribución normal de media 34,5 horas y de desviación típica 6,9 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de 36 teléfonos móviles:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías de la muestra esté comprendida entre 32 y 32,5 horas?
b) ¿Y de que sea mayor de 38 horas?

Solución

a) Si la población sigue una distribución N(34.5 , 6.9), una muestra de tamaño n=36, seguirá una distribución N(34.5 , 6.9/√36) = N(34.5 , 1.15)

p(32≤x≤33.5) = p(x≤33.5) – p(x≤32) → tipificando → p(32≤x≤33.5) = p(z≤z₁) – p(z≤z₂)
z₁=(33.5-34.5)/1.15 = -0,87
z₂=(32-34.5)/1.15 = -2,17
p(z≤-0,87) = p(z>0,87) = 1 – p(z≤0,87) = 1 – 0,8078 = 0,1922
p(z≤-2,17) = p(z>2,17) = 1- p(z≤2,17) = 1 – 0,9850 = 0,015

b) p(x>38) = 1 – p(x≤38)
Si tipificamos: p(x≤38)=p(z≤((38-34.5)/1.15)) = p(z≤3,04) = 0,9988

Resulta una probabibilidad prácticamente nula.

El peso de los alumnos de Bachillerato de un colegio se distribuye según la normal de media 60 y de desviación típica 10. Calcula la probabilidad de que, escogido un alumno al azar, su peso se encuentre entre 56 y 67 kg. ¿Qué tiene mayor probabilidad: pesar menos de 56kg o más de 67kg?

La altura media de los habitantes de una ciudad es de 170cm y su desviación típica es de 10cm. Si se elige una persona al azar, calcula la probabilidad de que su altura esté entre 158cm y 178cm. Representa gráficamente.

La edad de la población que vive en residencias de mayores en la comunidad de Madrid sigue una distribución normal de desviación típica 5 años y media 67. Si en una residencia hay 200 personas, calcula el número de ellos que tendrán:

1. Más de 80 años
2. Menos de 60 años
3. Edad comprendida entre 65 y 75 años