Discutir y resolver, en los casos que sea posible, según los valores de m el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y + z = m+1
mx + y + (m-1)z = m
x + my + z = 1

Solución:

a) Discutir el sistema: para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché.

Sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz ampliada:
Si ran(A)=ran(A*)= 3 → S.C.D.
Si ran(A)=ran(A*)<3 → S.C.I.
Si ran(A)≠ran(A*) → S.I.

Para estudiar el rango de A, lo primero que haremos será calcular su determinante.
|A|=m-1 → |A|=0, m=1
√ m € R m≠1 → S.C.D.

Estudiamos qué pasa cuando m=1
En este caso ran(A)<3 puesto que |A|=0. Veamos si el rango puede ser 2. Busco un menor:
|1 1|
|1 0|=-1≠0 → ran(A)=2

Buscamos un menor de orden 3 distinto de 0, por ejemplo con la 2ª, 3ª y 4ª columna:

Puesto que hemos encontrado un menor de orden 3 distinto de 0, ran(A*)=3
Si m=1 ran(A)=2≠ran(A*)=3 → S.I.

b) Será resoluble para cualquier valor de m≠1, en cuyo caso será un S.C.D. que vamos a resolver por Cramer:

Solución: √ m€R, m≠1: x=|Ax|/|A|=(-m³+m²+2m-1)/(m-1); y=|Ay|/|A|=-m/(m-1); z=|Az|/|A|=(m³-m)/(m-1)=m(m+1)

Discute y resuelve, cuando sea posible, el siguiente sistema:
2x – 3y + kz = 3
x – 2y + 3z = k-1
(k-2)x -y + 4z = -1

Solución:

a) Discusión del sistema.
Discutiremos el sistema utilizando el método de Rouché, que dice lo siguiente:
Sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz ampliada, es decir, la matriz de coeficientes a la que se le ha añadido la columna de término independiente:

si rango(A)=rango(A*) → El sistema es compatible

Si además rango(A)=rango(A*)= nº de incógnitas → sistema compatible determinado

Si rango(A)=rango(A*) < nº incógnitas → sistema compatible indeterminado

Si rango(A)≠rango(A*) → sistema incompatible

|A|=2k²-14k+20=2(k-5)(k-2)

|A|=0 → k=5, k=2

√ k  R € R, k≠5, k≠2 →rango(A)=rango(A*)=3→ S.C.D.

Hemos de estudiar los casos particulares de k=5 y k=2 para ver cómo es el sistema

k=2

Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de 0:

|2 -3|
|1 -2| = -4 -3 = -7 ≠ 0 → rango(A)=2

Buscamos si el rango de A* es 3, trabajando con menores de orden 3:

Cogemos 2ª, 3ª y 4ª columna:

Probamos con los menores que se obtienen con las columnas 1, 2 y 4 y con las columnas 1,3 y 4 y vemos que todos los menores son 0 → rango(A*)=2

si k=2 rango(A)=rango(A*)=2→ S.C.I.

si k=5

Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de 0:

|2 -3|
|1 -2| = -4 -3 = -7 ≠ 0 → rango(A)=2

Buscamos si el rango de A* es 3, trabajando con menores de orden 3:

Cogemos 2ª, 3ª y 4ª columna:

→ rango(A*)=3≠rango(A)=2 → si k=5  S.I.

b) El sistema tendrá solución siempre que sea compatible.

Para k=2 hemos de resolver por parametrización pues se trata de un S.C.I.

Resolvemos por Gauss:

2x – 3y + 2z = 3
x – 2y + 3z = 1
-y + 4z = -1

2x – 3y + 2z = 3
y – 4z = 1
-y + 4z = -1

Si z=λ → y= 1 + 4λ, x=3+5λ

Solución: si k=2, √ λ€R: x=3+5λ, y=1 + 4λ, z=λ → ∞ soluciones

k≠2 y k≠5 → S.C.D.

Solución única para cada sistema. Resolvemos por Cramer.

x=lAxl/lAl;

y=lAyl/lAl;

z=lAzl/lAl

Solución: √ k≠2 y k≠5 cada sistema tendrá una única solución: x=(-k²+11k-18)/(2k²-14k+20)
y=(-k³+3k²+14k-32)/(2k²-14k+20)
z=(-3k²+17k-22)/(2k²-14k+20)

Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real k:

x + y + zk = 4

2x – y + 2z = 5

-x + 3y – z = 0

a) Discutir el sistema para los distintos valores de k

b) Resolver el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones

c) Resolver el sistema para k=0

Solución:

a) Si k≠1 → lAl≠0 → ran(A)=ran(A*)=3 → S.C.D.

Si k=1 → lAl=0 → ran(A)=ran(A*)=2 → S.C.I.

b) Para k=1 S.C.I. → hay que resolver parametrizando

Soluciones: para cualquier valor de a€R Soluciones: x=3-a, y=1, z=a

c) Para k=o S.C.D. Solución: x=3, y=1, z=0

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro k:

2x – 3y + z = 0

x – ky – 3z = 0

5x + 2y – z = 0

a) Discutir el sistema para los distintos valores de k

b) Resolver cuando sea posible

Solución:

a) Si k≠8 → lAl≠0 → ran(A)=ran(A*)=3 → S.C.D.

Si k=8 → lAl=0 → ran(A)=ran(A*)=2 → S.C.I.

b) El sistema siempre tiene solución. Además, es un sistema homogéneo, puesto que la matriz de término independiente es la matriz 0, por lo que cuando el sistema sea S.C.D. la solución será: x=0, y=0, z=0

√ k € R con k≠8; Solución: x=0, y=0, z=0

k=8 S.C.I. → hay que parametrizar:

√ a € R: Soluciones: x=a, y=7a, z=19a

Estudia y resuelve el siguiente sistema lineal de ecuaciones:

x+2y+z=0

-x-y=1

-y-z=-1

Solución

ran(A)=ran(A*)=2 –> S.C.I. –> Hay que resolver parametrizando.

Soluciones: Para cualquier valor de a € R: x=-1-a, y=a, z=1-a

Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependientes del parámetro a:
x – 2y + z = 0
3x + ay – 2z = 3
2x + 2y + az = 8
a) Discutir el sistema para los distintos valores de a
b) Resuelve el sistema para a=4

Solución

b) Para a=4 S.C.D. → Solución única: x=1, y=1, z=1