Una cierta cantidad de sustancia gaseosa ocupa 25L y tiene una densidad de 1,25g/L a 20ºC y 2 atm. ¿Cuál sería su densidad a 0ºC y 1atm de presión?

Solución

Sabiendo que la aceleración de la gravedad en un movimiento de caída libre en la superficie de la Luna es un sexto de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra y que el radio de la Luna es aproximadamente 0,27Rt ( siendo Rt el radio de la Tierra ), calcula:
a) la relación entre las densidades medias: ρ_Luna/ρ_Tierra
b) la relación entre las velocidades de escape de un objeto desde sus respectivas superficies: Ve_Luna/Ve_Tierra

Solución:

a) La densidad se define como ρ=M/V
Para un cuerpo esférico V= 4ΠR³/3

Tenemos R_Luna. Nos falta M_Luna en función de los datos de la Tierra. La obtenemos a partir del dato de la gravedad que nos dan en el enunciado.

g_Luna=g_Tierra/6 → GM_Luna/R_Luna² = GM_Tierra/6.R_Tierra² → M_Luna/(0,27.R_Tierra)² = M_Tierra/6.R_Tierra² → M_Luna=[(0,27)²/6]M_Tierra= 1,22.10^-2.M_Tierra

ρ_Luna/ρ_Tierra = [M_Luna/(4ΠR_Luna³/3)] / [M_Tierra/(4ΠR_Tierra³/3)] = (M_Luna. R_Tierra³) / (M_Tierra. R_Luna³) = (1,22.10^-2.M_Tierra. R_Tierra³) / (M_Tierra. (0,27.R_Luna)³) = 1,22.10^-2/0,27³ = 0,62
ρ_Luna/ρ_Tierra = 0,62

b) Se define la velocidad de escape como la velocidad que hay que aportar un cuerpo para que escape del campo gravitatorio en el que se encuentra, es decir, para llevarlo hasta infinito, con energenía total 0. Aplicando el principio de conservación de la energía:

Einicial + m(Vescape)²/2 = Efinal = 0

Einicial = Ec(inicial) + Ep(inicial) → Sobre la superficie terrestre Ec=0 → Einicial = -GMm/R

-GMm/R + m(Vescape)²/2 = 0 → GMm/R = m(Vescape)²/2 → Vescape = (2GM/R)^1/2

Ve_Luna/Ve_Tierra = (2GM_Luna/R_Luna)^1/2/(2GM_Tierra/R_Tierra)^1/2= (M_Tierra.R_Luna/R_Tierra.M_Luna)^1/2=(M_Tierra.0,27.R_Tierra/R_Tierra.1,22.10^-2.M_Tierra)^1/2=(1,22.10^-2/0,27)^1/2=0,21

Ve_Luna/Ve_Tierra =0,21