Sea la siguiente función f(x):
| x³ – 2x² + x -1 si x≤1
| (x+3)/(x-2) si x>1
Calcula:
a) Dominio y continuidad
b) Monotonía
c) Asíntotas
d) Representa gráficamente

Solución:

a) Se define dominio de una funcióno como los valores que puede tomar la variable independiente (x) para que exista la variable dependiente (y). Puesto que se trata de una función a trozos, detemos estudiar el dominio de cada trozo y ver si existe algún problema en su tramo de definición.

x³ – 2x² + x -1 es un polinomio. No hay problemas en su dominio

(x+3)/(x-2) es una función racional, que tendrá problemas de dominio en los ceros del denominador: x-2=0; x=2. Este punto pertenece a su tramo de definición, que es (1, +∞), luego constituye un problema del dominio de la función total.

Dom f(x) = { x € R – x=2} = x € (-∞, 2) U (2, +∞)

El único punto conflictivo en el estudio de la continuidad será el punto de separación de los dos tramos de la función: x=1

Para que una función sea continua en un punto x=a se debe cumplir que:
1. Exista f(a)
2. Exista límite: Lim _x→a- f(x) = Lim _x→a+ f(x) = Lim _x→a f(x)
3. f(a) =Lim _x→a f(x)

Si no se cumple la 2ª condición, la función será discontinua inevitable en x=a.
Si no se cumple la 3ª condición, la función será discontinua evitable en x=a.

Vemos qué pasa en x=1.
* f(1) = (1)³ – 2(1)² + 1 -1 = -1
* Lim _x→1- f(x) = Lim _x→1-x³ – 2x² + x -1 = (1)³ – 2(1)² + 1 -1 = -1
Lim _x→1+ f(x) = Lim _x→1+ (x+3)/(x-2) = (1+3)/(1-2) = 4/-1 = -4
-1 ≠ -4 –> no existe Lim _x→1 f(x) –> La función f(x) es discontinua inevitable en x=1

La función f(x) es continua en todo su dominio salvo en x=1 donde presenta una discontinuidad inevitable.

b) Para estudiar la monotonía, tenemos que calcular la derivada de una función a trozos: f’(x) =
|3x² -4x + 1 si x<1
|-5/(x-2)² si x>1

(NOTA: no incluimos el 1, puesto que donde la función no es continua, tampoco va a ser derivable)

Calculamos los puntos que verifican que f’(x) = 0

3x² -4x + 1=0; x=1 y x=1/3. Puesto que ambos puntos pertenecen al tramo en el que está definida nuestra función, serán  posibles extremos relativos.
Si estudiamos el signo:
(-∞, 1/3 ) f’(x) >0 –> f(x) Creciente
(1/3, 1) f’(x) >0 –> f(x) Decreciente
(x=1/3, f(1/3))=(1/3, -23/27) es un máximo relativo

Estudiamos ahora el otro tramo de la función:
f’(x) = 0 ; -5/(x-2)² = 0 –> No es posible. No hay posibles extremos relativos
(1, +∞) f’(x) < 0 –> f(x) Decreciente

c) Solo puede haber asíntotas en el 2º tramo de la función, puesto que el primer tramo es un polinomio.

Asíntota horizontal: x-2=0; x=2

Asíntota vertical: y=Lim _x→+∞ f(x) = Lim _x→+∞ (x+3)/(x-2) = 1; y=1

d) Representación gráfica

Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones:

a)
| -4x + 5 si x≤1
| -2x² + 3 si x>1

Solución:

Continuidad:
Lo primero que hacemos es estudiar el dominio de definición de la función. Se trata de una función a trozos. Ambos trozos son polinomios y por lo tanto, su dominio es todo el tramo en el que están definidos.
El único punto conflictivo de cara a la continuidad es el punto de corte entre los tramos: x=1
Para que la función sea continua en x=1 se debe cumplir que:
1. lim_x→1- f(x) = lim_x→1+ f(x)
2. f(1) existe
3. lim_x→1 f(x) = f(1)

1. lim_x→1- f(x) = lim_x→1- -4x + 5 = -4 + 5 = 1
lim_x→1+ f(x) = lim_x→1+ -2x² + 3 = -2 + 3 = 1
Se verifica el primer punto
2. f(1) = -4(1) + 5 = 1
Se verifica el segundo punto
3. lim_x→1 f(x) = 1
f(1) = 1
Se verifica el tercer punto
→ La función es continua en x=1 → La función es continua en todo su dominio de definición
Derivabilidad:
El único punto conflictivo a la hora de estudiar la derivabilidad es x=1. Puesto que la función es continua en x=1, debemos estudiar si es derivable ( si no fuera continua, no haría falta estudiar derivabilidad, puesto que donde una función no es continua, tampoco es derivable )
Para que f(x) sea derivable en x=1 se debe cumplir que:
f’(x=1-) = f’(x=1+)
Calculamos la derivada de la función f’(x):
| -4 si x<1
| -4x si x>1
f’(x=1-)=-4
f’(x=1+)=-4.(1)=-4
f’(x=1-)=f’(x=1+)=-4
→ La función es derivable en x=1 con derivada f’(1) = -4 → La función es derivable en todo su dominio de definición

b)
| ax² + bx – 1 si x≤1
| 2bx – 2 si 1

Solución:

Se trata de una función a trozos. Los dos trozos son polinomios, de modo que son continuos y derivables en todo su dominio de definición, luego el único punto conflictivo es el de corte de los tramos: x=1
Para que la función sea continua en x=1 debe cumplir que:
1.- lim_x→1- f(x) = lim_x→1+ f(x)
lim_x→1- f(x) = lim_x→1- ax² + bx – 1 = a + b -1
lim_x→1+ f(x) = lim_x→1+ = 2bx – 2 = 2b – 2
Para que la función sea continua a + b -1 = 2b – 2
Tenemos una ecuación y dos incógnitas, de modo que necesitamos una 2ª ecuación.
Esa ecuación la vamos a obtener de la derivabilidad:
Para que la función sea derivable en x=1 debe cumplir que:
f’(x=1-) = f’(x=1+)
Calculamos f’(x):
| 2ax + b si x<1
| 2b si 1
f’(x=1-) = 2a.1 + b
f’(x=1+) = 2b
f’(x=1-) = f’(x=1+) → 2a + b = 2b
Tenemos 2 ecuaciones y 2 incógnitas. Resolvemos el sistema:
a + b -1 = 2b – 2
2a + b = 2b

a = b – 1
2a = b

a = 2a – 1 → a = 1 ; b = 2
Solución: si a = 1 ; b = 2 la función será continua y derivable en todo su dominio de definición.
b)

Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

Estudia la continuidad de la siguiente función:

Solución

Para estudiar la continuidad de una función a trozos tenemos que estudiar qué ocurre en los puntos que delimitan cada tramo, en este caso x=0 y x=3

1. ∃f(a)
2. lim_x→a- f(x) = lim_x→a+ f(x) = lim_x→a f(x)
3. lim_x→a f(x) = f(a)

Si no se cumple la 2ª condición, tendremos una discontinuidad inevitable
Si no se cumple la 3ª condición, tendremos una discontinuidad evitable

1. f(0)=0²+1=1
2. lim_x→0- f(x) =lim_x→0- x²+1=0²+1=1; lim_x→0+ f(x)=lim_x→0+ 2x-1 = 2.0-1=-1; lim_x→0- f(x) ≠ lim_x→0+ f(x) → discontinuidad inevitable

Estudiamos x=3

1. f(3)=5
2. lim_x→3- f(x) =lim_x→3- 2x-1=2.3-1=6-1=5; lim_x→3+ f(x)=lim_x→3+ 5 = 5; lim_x→3- f(x) = lim_x→3+ f(x) =5
3. f(3)=lim_x→3 f(x)=5 → f(x) es continua en x=5

Sea la función:
f(x) = ( -x³ + 1 ) / ( 2x² + 2x – 12 )
Se pide:
a) Especificar su dominio de definición
b) Estudiar su continuidad
c) Calcular las asíntotas si las hubiera

Solución

a) Por tratarse de una fracción de polinomios, el dominio estará formado por todos los puntos que pertenecen a R salvo aquéllos que hacen “0″ el denominador:

2x² + 2x -12 = 0
x = (-2 ± (4 + 96)^1/2)/4 = (-2 ±10)/4
x₁ = (-2 + 10)/4 = 2
x₂ = (-2-10)/4 = -3

b) Por tratarse de un cociente de polinomios, la función será continua en todo su dominio de definición.
Por abuso de lenguaje, podemos estudiar la discontinuidad en los puntos que no pertenecen al dominio.
x=2
lim_{(x → 2^-)} f(x) = -∞
lim_{(x → 2⁺)}f(x) = +∞
Por abuso de lenguaje, f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=2
x=-3
lim_{(x → -3^-)} f(x) = +∞
lim_{(x → -3⁺)}f(x) = -∞
Por abuso de lenguaje, f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=-3

Solución: la función es continua en todo su dominio y por abuso de lenguaje podemos decir que presenta discontinuidades inevitables en x=2 y x=-3

c)
Asíntotas verticales:
x=2 y x=-3 ( son los puntos que hacen “0″ el denominador )

Asíntotas horizontales:
Serán los puntos a los que se acerca la función cuando x → ±∞
lim_{(x → ±∞)} f(x) = ±∞
No hay asíntotas horizontales –> puede haber asíntotas oblicuas

Asíntotas oblicuas:
Una asíntota oblicua es una recta del tipo y = mx + b donde:
m = lim_{(x → ±∞)} f(x)/x = lim_{(x → ±∞)} (-x³ +1)/(2x³+2x²-12x) = -1/2
b = lim_{(x → ±∞)} (f(x) – m·x) = lim_{(x → ±∞)} (-x³+1 -(-1/2)(2x² + 2x -12))/(2x² + 2x -12 ) = lim_{(x → ±∞)} (x²-5)/(2x² + 2x -12 ) = 1/2
Solución: y = -1/2x + 1/2

Se considera la función:

a) Estúdiese si f(x) es continua en x=2
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto x=3
c) Calcúlense las asíntotas oblicuas

Solución

a) Para que la función sea continua en un el punto x=2 debe ocurrir que:

lim_{(x → 2^-)}f(x) = lim_{(x → 2^-)}(x+2)/(x-1) = 4/1 = 4
lim_{(x → 2⁺)}f(x) = lim_{(x → 2⁺)}(3x²-2x)/(x+2) = 8/4 = 2
f(2) = 4
Puesto que no coinciden los límites laterales, la función es discontinua en x=2, donde presenta una discontinuidad inevitable

b) La recta tangente en x=3 tendrá por ecuación y=mx+b
m=f´(x=3)
Para calcular f´(x=3) debemos utilizar el trozo de la función en que x>2´
f´(x) = ((6x-2)(x+2)-(3x²-2x).1)/(x+2)²=(3x²+12x-4)/(x+2)²
f´(x=3) = 62/25
Para calcular “b”, sé que la recta debe pasar por el punto x=3, f(x=3)
f(x=3) = (27-6)/5 = 19/5
19/5 = 62/25·3 +b → b = 19/5 – 186/25 = (95-186)/25 = -91/25
La recta tangente en x=3 es y = 62/25·x – 91/25

c) En la rama x2
Asíntota oblicua: y = mx + b
m = lim_{(x → +∞)}f(x)/x = lim_{(x → +∞)} (3x²-2x)/x(x+2) = 3
b = lim_{(x → +∞)} f(x) -m·x = (3x²-2x)/(x+2) – 3x = -8
Asíntota oblicua: y = 3x – 8

Sea la función:
f(x) = x / (1-x²)
Se pide:
a) Especificar su dominio de definición
b) Estudiar su continuidad
c) Calcular las asíntotas si las hubiera

Solución

a) Por tratarse de una fracción de polinomios, el dominio estará formado por todos los puntos que pertenecen a R salvo aquéllos que hacen “0″ el denominador:
2x² + 2x -12 = 0
x = (-2 ± (4 + 96)^1/2)/4 = (-2 ±10)/4
x₁ = (-2 + 10)/4 = 2
x₂ = (-2-10)/4 = -3

b) Por tratarse de un cociente de polinomios, la función será continua en todo su dominio de definición.
Por abuso de lenguaje, podemos estudiar la discontinuidad en los puntos que no pertenecen al dominio.
x=2
lim_{(x → 2^-)} f(x) = -∞
lim_{(x → 2⁺)}f(x) = +∞
Por abuso de lenguaje, f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=2
x=-3
lim_{(x → -3^-)} f(x) = +∞
lim_{(x → -3⁺)}f(x) = -∞
Por abuso de lenguaje, f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=-3

Solución: la función es continua en todo su dominio y por abuso de lenguaje podemos decir que presenta discontinuidades inevitables en x=2 y x=-3

c)
Asíntotas verticales:
x=2 y x=-3 ( son los puntos que hacen “0″ el denominador )

Asíntotas horizontales:
Serán los puntos a los que se acerca la función cuando x → ±∞
lim_{(x → ±∞)} f(x) = ±∞
No hay asíntotas horizontales –> puede haber asíntotas oblicuas

Asíntotas oblicuas:
Una asíntota oblicua es una recta del tipo y = mx + b donde:
m = lim_{(x → ±∞)} f(x)/x = lim_{(x → ±∞)} (-x³ +1)/(2x³+2x²-12x) = -1/2
b = lim_{(x → ±∞)} (f(x) – m·x) = lim_{(x → ±∞)} (-x³+1 -(-1/2)(2x² + 2x -12))/(2x² + 2x -12 ) = lim_{(x → ±∞)} (x²-5)/(2x² + 2x -12 ) = 1/2
Solución: y = -1/2x + 1/2

Sea la función

a) Estudiese su continuidad
b) Representa gráficamente

Solución

a) Se trata de una función a trozos. Cada uno de los trozos, por ser polinomios, son continuos en su dominio de definición, puesto que un polinomio es siempre continuo. El único punto conflictivo será el punto de corte: x=5

Por definición, una función es continua en un punto “a” cuando:

En el caso de x=5

lim _(x–>5^-)f(x) = lim _(x–>5^-) -x²+5·x = 0
lim_(x–>5⁺)f(x) = lim _(x–>5⁺) x-5 = 0
f(5) = x – 5 = 0

Solución: puesto que la función es continua en x=5, la función es continua en todo su dominio de definición