De una urna con 5 bolas, dos blancas y tres negras, se extraen 2 bolas sin reemplazamiento. Sabiendo que la segunda bola ha sido blanca, determina cuál es la probabilidad de que la primera también lo sea.

Solución

Siempre que nos digan que algo ha ocurrido, tenemos que aplicar el teorema de Bayes o de la probabilidad a posteriori. Sabemos lo que ha ocurrido al final y queremos conocer cuál es la probabilidad de que venga de una rama concreta:

Calculamos la probabilidad de que haya sido blanca la primera bola sabiendo que ha sido blanca la segunda.

p(B1/B2)=p(B1∩B2)/B2= p(B1∩B2) /[p(B1∩B2) + p(N1∩B2)] =

p(B1).p(B2/B1) / [p(B1).p(B2/B1) + p(N1).p(B2/N1)] = (5/8.4/7) / [ 5/8.4/7 + 3/8.5/7] = 20/35 = 4/7

En un cierto banco el 30% de los créditos concedidos son para vivienda, el 50% se destinan a empresas y el 20% son para consumo. Se sabe además que de los créditos concedidos a vivienda, el 10% resultan impagados, de los concedidos a empresas son impagados el 20% y de los concedidos para consumo resultan impagados el 10%.

1. Calcúlese la probabilidad de que un crédito elegido al azar sea pagado
2. ¿Cúal es la probabilidad de que un crédito elegido al azar se haya destinado a consumo sabiendo que se ha pagado?

Solución

Este es un ejercicio típico de selectividad.

Lo primero de todo, será plantear el árbol de probabilidad

1.- Aplicaremos el teorema de la probabilidad completa para obtener los créditos pagados:

p(P) = p(V∩P) + p(E∩P) + p(C∩P)= p(V).p(P/V) + p(E).p(P/E) + p(C).p(P/C) = 0,3.0,9 + 0,5.0,8 + 0,2.0,9 = 0,85 = 85%

2.- Aplicaremos el teorema de Bayes, o de la probabilidad a posteriori.

p(C/P) = p(C∩P) / p(P) = 0,2.0,9 / 0,85 = 0,2118 = 21,18%