Sea la siguiente función f(x):
| x³ – 2x² + x -1 si x≤1
| (x+3)/(x-2) si x>1
Calcula:
a) Dominio y continuidad
b) Monotonía
c) Asíntotas
d) Representa gráficamente

Solución:

a) Se define dominio de una funcióno como los valores que puede tomar la variable independiente (x) para que exista la variable dependiente (y). Puesto que se trata de una función a trozos, detemos estudiar el dominio de cada trozo y ver si existe algún problema en su tramo de definición.

x³ – 2x² + x -1 es un polinomio. No hay problemas en su dominio

(x+3)/(x-2) es una función racional, que tendrá problemas de dominio en los ceros del denominador: x-2=0; x=2. Este punto pertenece a su tramo de definición, que es (1, +∞), luego constituye un problema del dominio de la función total.

Dom f(x) = { x € R – x=2} = x € (-∞, 2) U (2, +∞)

El único punto conflictivo en el estudio de la continuidad será el punto de separación de los dos tramos de la función: x=1

Para que una función sea continua en un punto x=a se debe cumplir que:
1. Exista f(a)
2. Exista límite: Lim _x→a- f(x) = Lim _x→a+ f(x) = Lim _x→a f(x)
3. f(a) =Lim _x→a f(x)

Si no se cumple la 2ª condición, la función será discontinua inevitable en x=a.
Si no se cumple la 3ª condición, la función será discontinua evitable en x=a.

Vemos qué pasa en x=1.
* f(1) = (1)³ – 2(1)² + 1 -1 = -1
* Lim _x→1- f(x) = Lim _x→1-x³ – 2x² + x -1 = (1)³ – 2(1)² + 1 -1 = -1
Lim _x→1+ f(x) = Lim _x→1+ (x+3)/(x-2) = (1+3)/(1-2) = 4/-1 = -4
-1 ≠ -4 –> no existe Lim _x→1 f(x) –> La función f(x) es discontinua inevitable en x=1

La función f(x) es continua en todo su dominio salvo en x=1 donde presenta una discontinuidad inevitable.

b) Para estudiar la monotonía, tenemos que calcular la derivada de una función a trozos: f’(x) =
|3x² -4x + 1 si x<1
|-5/(x-2)² si x>1

(NOTA: no incluimos el 1, puesto que donde la función no es continua, tampoco va a ser derivable)

Calculamos los puntos que verifican que f’(x) = 0

3x² -4x + 1=0; x=1 y x=1/3. Puesto que ambos puntos pertenecen al tramo en el que está definida nuestra función, serán  posibles extremos relativos.
Si estudiamos el signo:
(-∞, 1/3 ) f’(x) >0 –> f(x) Creciente
(1/3, 1) f’(x) >0 –> f(x) Decreciente
(x=1/3, f(1/3))=(1/3, -23/27) es un máximo relativo

Estudiamos ahora el otro tramo de la función:
f’(x) = 0 ; -5/(x-2)² = 0 –> No es posible. No hay posibles extremos relativos
(1, +∞) f’(x) < 0 –> f(x) Decreciente

c) Solo puede haber asíntotas en el 2º tramo de la función, puesto que el primer tramo es un polinomio.

Asíntota horizontal: x-2=0; x=2

Asíntota vertical: y=Lim _x→+∞ f(x) = Lim _x→+∞ (x+3)/(x-2) = 1; y=1

d) Representación gráfica

Sea la función: f(x) = x² / ( x + 4 )
Determina: dominio, monotonía, asíntotas, tangente en el punto x=1, puntos de corte con los ejes y representa gráficamente.

Solución

Sea la siguiente función: f(x) = (x²+1) / ( x²-1 ). Determina:
a) Dominio
b) Monotonía de la función
c) Asíntotas
d) Puntos de corte con los ejes y representa gráficamente
e) Tangente de la gráfica en el punto x = 2

Solución

Dada la función f(x) = x/(1-x²)
a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento
b) Calcular sus asíntotas
c) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x=0

Solución

a) Para estudiar la monotonía, hemos de trabajar con la 1ª derivada.
f´(x) = (1.(1-x²) – x(-2x))/(1-x²)² = (1 + x²)/(1-x²)²
Buscamos los ceros de f´(x) para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimie nto.
f´(x)=0 → (1 + x²)/(1-x²)²=0 –> (1 + x²)=0 → No hay valores de x que hagan cero la 1ª derivada
En los intervalos hemos de tener en cuenta también los puntos en que la función no está definida, es decir, que no pertenecen al dominio.
1-x² = 0 → x² = 1 → x = ±1
Los intervalos que tenemos que estudiar serán:
(-∞, -1) → f’(x) > 0 → f(x) es creciente
(-1, 1) → f’(x) > 0 → f(x) es creciente
(1, +∞) → f’(x) > 0 → f(x) es creciente
Solución: f(x) es creciente en todo su dominio

b) Asíntotas verticales:
Puntos que no pertenecen al dominio de f(x), donde la función se hace ±∞:
x=1, x=-1
Asíntotas horizontales:
valores de y a los que tiende f(x) cuadno x → ±∞
lim_(x→±∞) f(x) = 0
y=0
Asíntotas oblicuas:
puesto que tiene asíntotas horizontales, no tendrá asíntotas oblicuas

c) La recta tangente a la gráfica en x=0 será una recta de ecuación y = mx + b donde
m = f’(x=0) = 1
La recta debe pasar por el punto x=0, f(x=0)=0
0 = 1.0 + b → b=0
Recta tangente en x=0: y = x

Sea la función:
f(x) = ( -x³ + 1 ) / ( 2x² + 2x – 12 )
Se pide:
a) Especificar su dominio de definición
b) Estudiar su continuidad
c) Calcular las asíntotas si las hubiera

Solución

a) Por tratarse de una fracción de polinomios, el dominio estará formado por todos los puntos que pertenecen a R salvo aquéllos que hacen “0″ el denominador:

2x² + 2x -12 = 0
x = (-2 ± (4 + 96)^1/2)/4 = (-2 ±10)/4
x₁ = (-2 + 10)/4 = 2
x₂ = (-2-10)/4 = -3

b) Por tratarse de un cociente de polinomios, la función será continua en todo su dominio de definición.
Por abuso de lenguaje, podemos estudiar la discontinuidad en los puntos que no pertenecen al dominio.
x=2
lim_{(x → 2^-)} f(x) = -∞
lim_{(x → 2⁺)}f(x) = +∞
Por abuso de lenguaje, f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=2
x=-3
lim_{(x → -3^-)} f(x) = +∞
lim_{(x → -3⁺)}f(x) = -∞
Por abuso de lenguaje, f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=-3

Solución: la función es continua en todo su dominio y por abuso de lenguaje podemos decir que presenta discontinuidades inevitables en x=2 y x=-3

c)
Asíntotas verticales:
x=2 y x=-3 ( son los puntos que hacen “0″ el denominador )

Asíntotas horizontales:
Serán los puntos a los que se acerca la función cuando x → ±∞
lim_{(x → ±∞)} f(x) = ±∞
No hay asíntotas horizontales –> puede haber asíntotas oblicuas

Asíntotas oblicuas:
Una asíntota oblicua es una recta del tipo y = mx + b donde:
m = lim_{(x → ±∞)} f(x)/x = lim_{(x → ±∞)} (-x³ +1)/(2x³+2x²-12x) = -1/2
b = lim_{(x → ±∞)} (f(x) – m·x) = lim_{(x → ±∞)} (-x³+1 -(-1/2)(2x² + 2x -12))/(2x² + 2x -12 ) = lim_{(x → ±∞)} (x²-5)/(2x² + 2x -12 ) = 1/2
Solución: y = -1/2x + 1/2

Se considera la función:

a) Estúdiese si f(x) es continua en x=2
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto x=3
c) Calcúlense las asíntotas oblicuas

Solución

a) Para que la función sea continua en un el punto x=2 debe ocurrir que:

lim_{(x → 2^-)}f(x) = lim_{(x → 2^-)}(x+2)/(x-1) = 4/1 = 4
lim_{(x → 2⁺)}f(x) = lim_{(x → 2⁺)}(3x²-2x)/(x+2) = 8/4 = 2
f(2) = 4
Puesto que no coinciden los límites laterales, la función es discontinua en x=2, donde presenta una discontinuidad inevitable

b) La recta tangente en x=3 tendrá por ecuación y=mx+b
m=f´(x=3)
Para calcular f´(x=3) debemos utilizar el trozo de la función en que x>2´
f´(x) = ((6x-2)(x+2)-(3x²-2x).1)/(x+2)²=(3x²+12x-4)/(x+2)²
f´(x=3) = 62/25
Para calcular “b”, sé que la recta debe pasar por el punto x=3, f(x=3)
f(x=3) = (27-6)/5 = 19/5
19/5 = 62/25·3 +b → b = 19/5 – 186/25 = (95-186)/25 = -91/25
La recta tangente en x=3 es y = 62/25·x – 91/25

c) En la rama x2
Asíntota oblicua: y = mx + b
m = lim_{(x → +∞)}f(x)/x = lim_{(x → +∞)} (3x²-2x)/x(x+2) = 3
b = lim_{(x → +∞)} f(x) -m·x = (3x²-2x)/(x+2) – 3x = -8
Asíntota oblicua: y = 3x – 8

Sea la función:
f(x) = x / (1-x²)
Se pide:
a) Especificar su dominio de definición
b) Estudiar su continuidad
c) Calcular las asíntotas si las hubiera

Solución

a) Por tratarse de una fracción de polinomios, el dominio estará formado por todos los puntos que pertenecen a R salvo aquéllos que hacen “0″ el denominador:
2x² + 2x -12 = 0
x = (-2 ± (4 + 96)^1/2)/4 = (-2 ±10)/4
x₁ = (-2 + 10)/4 = 2
x₂ = (-2-10)/4 = -3

b) Por tratarse de un cociente de polinomios, la función será continua en todo su dominio de definición.
Por abuso de lenguaje, podemos estudiar la discontinuidad en los puntos que no pertenecen al dominio.
x=2
lim_{(x → 2^-)} f(x) = -∞
lim_{(x → 2⁺)}f(x) = +∞
Por abuso de lenguaje, f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=2
x=-3
lim_{(x → -3^-)} f(x) = +∞
lim_{(x → -3⁺)}f(x) = -∞
Por abuso de lenguaje, f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=-3

Solución: la función es continua en todo su dominio y por abuso de lenguaje podemos decir que presenta discontinuidades inevitables en x=2 y x=-3

c)
Asíntotas verticales:
x=2 y x=-3 ( son los puntos que hacen “0″ el denominador )

Asíntotas horizontales:
Serán los puntos a los que se acerca la función cuando x → ±∞
lim_{(x → ±∞)} f(x) = ±∞
No hay asíntotas horizontales –> puede haber asíntotas oblicuas

Asíntotas oblicuas:
Una asíntota oblicua es una recta del tipo y = mx + b donde:
m = lim_{(x → ±∞)} f(x)/x = lim_{(x → ±∞)} (-x³ +1)/(2x³+2x²-12x) = -1/2
b = lim_{(x → ±∞)} (f(x) – m·x) = lim_{(x → ±∞)} (-x³+1 -(-1/2)(2x² + 2x -12))/(2x² + 2x -12 ) = lim_{(x → ±∞)} (x²-5)/(2x² + 2x -12 ) = 1/2
Solución: y = -1/2x + 1/2