Se considera la función real de variable real definida por: f(x) = (x²-1)²

a) Determina los extremos relativos de f(x).
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x=3.
c) Calcula el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f(x) y el eje OX.

Solución:

a) Para estudiar los extremos relativos ( máximos y minímos ) debemos calcular la derivada de la función:
f’(x)=2.(x²-1).2x= 4x.(x²-1)
Calculamos los ceros de la derivada:
f’(x)=0; 4x.(x²-1)=0; x=0 y x²-1=0; x=0, x=1, x=-1

Tenemos 3 posibles extremos relativos. Para ver si son máximos o mínimos podemos hacer 2 cosas:
* estudiar el signo de f’(x) en torno a esos puntos
* estudiar el signo de f”(x)

En este caso lo haremos del 2º modo:
f”(x)=12x²-4
f”(x=0)=-4 < 0 –> x=0 es un máximo
f”(x=-1)=8 >0 –> x=-1 es un mínimo
f”(x=1)=8 >0 –> x=1 es un mínimo

f(o)=1; (0,1) ES UN MÁXIMO
f(-1)=0; (-1,0) ES UN MÍNIMO
f(1)=0; (1,0) ES UN MÍNIMO

b) La ecuación de la recta tangente es: y=mx+n
La recta tangente debe cumplir 2 condiciones:
* La tangente de la recta y de f(x) en dicho punto x=3 debe ser la misma:
m=f’(x=3); m=4.3(9-1)=96

* La recta tangente debe pasar por el punto (x=3,f(x=3)): (3, 64)
64=96.3-n –> n=-224

La ecuación de la recta tangente será: y=96x-224

c) Representamos la función para ver el recinto al que hace referencia:

El área que nos piden será la que queda encerrada entre x=-1 y x=1

A=∫_-1¹ (x²-1)² dx= F(1) – F(-1)
Para hacer la integral de manera mas sencilla, desarrollamos el cuadrado, para que nos quede un polinomio:
(x²-1)² =x⁴-2x²+1
F(x) = ∫(x⁴-2x²+1)dx=x⁵/5-2x³/3-x
F(1)=1/5 -2/3 -1
F(-1)= 1/5 + 2/3 +1

A=F(1) – F(-1) = 16/15 u²

Se considera la curva de ecuación y = x³ – 4x
a) Hallar las coordenadas de sus puntos de intersección con los ejes coordenados y de sus máximos y mínimos relativos, si existen
b) Representar gráficamente la curva
c) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la curva y el eje OX

Solución

Sean las funciones f(x)=x²-9, g(x)=x²-x-6
Calcular:
a) lim_(x→3) f(x)/g(x)
b) Los extremos relativos de g(x), si existen
c) El área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x), el eje OX y las rectas x=3 y x=6

Solución

a)
lim_(x→3) f(x)/g(x)= lim_(x→3) (x²-9)/(x²-x-6) = 0/0 → Indeterminación
Para resolver la indeterminación factorizamos los dos polinomios:
f(x) = x²-9 = (x-3)(x+3)
g(x) = x²-x-6 = (x+2)(x-3)
lim_(x→3) f(x)/g(x)= lim_(x→3) (x-3)(x+3)/(x+2)(x-3) = lim_(x→3) (x+3)/(x+2) = 6/5

b) g(x) = x²-x-6
Para hallar los extremos relativos de una función, utilizamos la 1ª derivada ( por tratarse de una parábola, sabemos que tendrá un extremo relativo ).
g’(x)=2x-1
Calculamos los ceros de g’(x):
g’(x)=0 → 2x-1=0 → x = 1/2
g”(x) nos dirá si es un máximo o un mínimo:
g”(x)=2 > 0 → x=1/2 es un mínimo f(1/2) = 1/4 -1/2 – 6 = -25/4
Solución: g(x) tiene un extremo relativo que es el punto (1/2,-25/4) que es un mínimo relativo