Aceleración en coordenadas intrínsecas, M.C.U., M.C.U.A.-2010FinalFisicaP2

Define aceleración normal y aceleración tangencial. Una lavadora gira a 700r.p.m. Calcula su periodo y su aceleración en coordenadas intrínsecas. A partir de ese momento, la lavadora se detiene en un tiempo de 5s. Calcula la aceleración angular y tangencial del movimiento.

Dato: Diámetro de la lavadora: 80cm.

Solución:

Aceleración normal y aceleración tangencial son las coordenadas del vector aceleración en ejes intrínsecos ( eje tangente y normal a la trayectoria en cada punto ).

La aceleración normal produce variaciones en la dirección de la velocidad y por lo tanto, se da en cualquier movimiento curvo. Está dirigida hacia el centro de curvatura y vale an=v2/R, siendo v la velocidad lineal del móvil en ese punto y R el radio de curvatura.

La acleración tangencial produce variaciones en el módulo de la velocidad. Su valor es at=d|v|/dt, siendo |v| el módulo de la velocidad lineal.

a) w=700rpm = 73,30 rad/s → M.C.U.
w=2Π/T → T=2Π/w = 8,57.10-2s

a=(at, an)

Puesto que es un MCU,  at=0, y an= v2/R = w2.R = (73,30)2.0,4 = 2149,16 m/s2

a=(0, -2149,16) m/s2

b) La 2º parte es un MCUA, puesto que se produce un frenado:

w=wo + α.t; 0 = 73,30 + α.5; α=-14,66 rad/s2

at=α.R = -14,66.0,4=-5,86 m/s2

Examen 1Ev2009P2- M.C.U.A. y M.C.U.

Una noria de 10m de diámetro alcanza una velocidad angular de 20rpm en un tiempo de 10s, partiendo del reposo. Calcula su aceleración angular, aceleración tangencial y las vueltas que ha dado hasta alcanzar dicha velocidad angular. Calcula su periodo y su aceleración normal una vez que se alcanza la velocidad de 20rpm.

Solución:

El movimiento se divide en 2 fases: hasta que se alcanzan las 20rpm=20.2.Π/60rad/s=2,09rad/s (MCUA) y una vez alcanzada dicha velocidad (MCU)
ω=ωo + αt = αt
Θ = ωo.t + αt2/2 = αt2/2

Sabemos que en 10s ω=2,09rad/s → 2,09 = α.10 ; α=0,21rad/s2
at=α.R=0,21.5=1,05m/s2

En los 10s, el ángulo barrido será: Θ = 0,21.102/2 = 10,5rad
Puesto que 1 vuelta son 2Π rad → vueltas = 10,5rad/2Π rad = 1,67 vueltas

Una vez alcanzada la velocidad de 2,09rad/s, tendremos un MCU:
ω=2Π/T; ↔ T=2Π/ω=3,01s
an= ω2.R = 21,84m/s2

Cinética-1p1EvP12009

a)Define el concepto de aceleración y exprésala en coordenadas intrínsecas, indicando el significado de cada una de las componentes.
b) Una partícula se mueve según la ecuación cinética: r=(8-2t-t2, -t+3)m.  Encuentra sus ecuaciones cinéticas. Calcula posición, velocidad y aceleración a los 3s de iniciarse el movimiento, así como su aceleración normal y aceleración tangencial si se sabe que el radio de curvatura en ese instante es de 50m. Calcula el desplazamiento en los 5 primeros segundos.

Solución:

a) aceleración: rapidez con la que varía la velocidad de un móvil ( a=dv/dt)

Expresada en coordenadas intrínsecas: a=atut + anun

at= componente de la aceleración que produce modificaciones en el módulo de la velocidad. ( at=dlvl/dt )

an= componente de la aceleración que produce modificaciones en la dirección de la velocidad. Existe en todo movimiento curvo. Está dirigida siempre hacia el centro de curvatura. ( an=v2/R)

b) Ecuaciones cinéticas del movimiento:

r=(8-2t-t2, -t+3)m

v=dr/dt=(-2-2t, -1)m/s

a=dv/dt=(-2,0)m/s2

Ecuaciones cinéticas a los 3s de iniciarse el movimiento:

r(3s)=(-7,0)m

v(3s)=(-8,-1)m/s

a(3s)=(-2,0)m/s2

an=v2/R=((-8)2+(-1)2)/50=1,3m/s2

lal=((-2)2 +(0)2)1/2 = 2 m/s2
lal=((at)2+(an)2)1/2 = 2 m/s2

2=((at)2+(1,3)2)1/2 → at=1,52m/s2

Desplazamiento en los 5s primeros.

Δr=r(5s)-r(0s)=(-27,-2) – (8, 3)=(-35, -5)m

M.C.U.A.

a) ¿Qué es la aceleración? Definir aceleración tangencial y aceleración centrípeta y dar sus expresiones.
b) Un disco gira a 20 r.p.m. Se desconecta el tocadiscos y tarda 10s en pararse. ¿Cuántas vueltas ha dado hasta pararse? ¿Cuál será su aceleración angular de frenado?
NOTA: r.p.m. ( revoluciones por minuto = vueltas por minuto )

Aceleración en coordenadas intrínsecas

Un vehículo describe una cierta trayectoria, siendo su velocidad:
v(t)=(3t+1, 2t-3t2)m/s
Calcula su aceleración normal y su aceleración tangencial a los 3s de iniciado el movimiento, sabiendo que el radio de curvatura en ese instante es R=5m

Solución

A partir del vector velocidad en coordenadas cartesianas, obtenemos el vector aceleración.
a(t)=dv(t)/dt=(d(3t+1)/dt, d(2t-3t2)/dt)=(3, 2-6t)m/s2
Cuando expresamos un vector en coordenadas que no son cartesianas, cambiarán las componentes del vector, pero no su módulo.
|a(t)|=(32 + (2-6t)2)1/2=(13-24t+36t2)1/2 m/s2
Como nos pide la aceleración en coordenadas intrínsicas a los 3s
|a(3s)|=(13-24.3+36.32)1/2 m/s2 = 265m/s2
v(3s)=(3.3+1, 2.3-3.32)=(10,-21)m/s → v2=102 + (-21)2=541m/s
an=v2/r=541/5=108,2m/s2

En coordenadas intrínsecas: a=(an,at)
Su módulo será: |a(t)|=((an)2 + (at)2)1/2
Como el módulo del vector no puede cambiar:
265=(108,22 + (at)2)1/2 → at=241,9m/s2

Solución: an=108,2m/s2, at=241,9m/s2

Aceleración en coordenadas intrínsecas

Según el dibujo de la figura y sabiendo que:
a=5m/s2
∂=35º
R=12m
determina las coordenadas intrínsicas de la aceleración. 
aceleracion
Solución

Lo que nos piden es encontrar las coordenadas de la aceleración en ejes intrínsecos, es decir en ejes que son uno tangente a la tryectoria y el otro perpendicular a dicha trayectoria.
Según el dibujo, y puesto que nos dan el módulo de la aceleración y el ángulo con el eje perpendicular a la trayectoria, resolvemos por trigonometría:
an=a.sen35=5.sen35=2,87m/s2
at=a.cos35=5.cos35=4,10m/s2
El vector aceleración en coordenadas intrínsecas quedará:

a=(4,10,-2,87)m/s2

NOTA: es importante recordar que la an siempre está dirigida hacia el centro de curvatura y que por lo tanto tiene el sentido negativo del eje normal.