Probabilidad

EXPERIMENTOS ALEATRIOS

Experimentos aleatorios: aquellos cuyo resultado depende del azar y no se puede predecir de antemano.

Espacio muestral (E): conjunto de los posibles resultados ( sucesos elementales o puntos muestrales ) de un experimento aleatorio.

Suceso: cualquier subconjunto de E

Espacio de sucesos ( S): Conjunto de todos los sucesos de un experimento aleatorio.

Ejemplo

Tipos de sucesos:

Suceso imposible: el que no se verifica nunca

Suceso cierto: el que se verifica siempre

Suceso contrario de A ( Ac): aquel que se verifica siempre que no se verifique A y que no se verifica siempre que se verifique A.

Ejemplo

Operaciones con sucesos

Unión ( se verifica uno y otro ) : AUB

Intersección ( se verifican ambos ): A∩B

Cuando la intersección de dos sucesos es el conjunto vacío se dice que son incompatibles.

Diferencia ( se verifica A y no se verifica B ) :  A-B=A∩BC

Ejemplo

PROBABILIDAD

Definición clásica de probabilidad: Ley de Laplace

Si en un experimento aleatorio los sucesos elementales son equiprobables, la probabilidad de un suceso cualquiera A será:

P(A) = (casos favorables) / (casos posibles)

Ejemplo

Definición axiomática de probabilidad:

Probabilidad es una función que asocia a cada suceso A un valor numérico que llamamos p(A) que cumple:

1.     0 ≤ p(A) ≤1

2.     P(E) = 1 → p(A) + p(Ac) = 1

3.     Si A y B son incompatibles → p(A U B) = p(A) + p(B)

Probabilidad de la unión:

p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A∩B)

p(A U B U C) = p(A) + p(B) + p(C) – p(A∩B) – p(A∩C) – p(B∩C) + p(A∩B∩C)

Leyes de Morgan:

p(Ac U Bc) = p((A∩B)c) = 1 – p(A∩B)

p(Ac ∩ Bc) = p((AUB)c) = 1 – p(AUB)

Teorema de la probabilidad completa:

p(B ) = p(A∩B) + p(Ac∩B)

Ejemplo

Sucesos no condicionados o independientes:

A y B son sucesos no condicionados o independientes si se verifica que: p(A∩B) = p(A).p(B)

Es decir, si la probabilidad del suceso B no se ve afectada porque previamente haya o no haya ocurrido A.

En caso contrario se dice que A y B son condicionados o dependientes y:

p(A∩B) = p(A).p(B/A),

siendo p(B/A) ( probabilidad de B condicionado por A ) la probabilidad de que ocurra B habiendo ocurrido A previamente.

Ejemplo

EXPERIMENTOS ALEATORIOS COMPUESTOS.

  • Si el experimento aleatorio está constituido por sucesos simples independientes la probabilidad del suceso compuesto se calcula como producto de probabilidades de los sucesos simples.
  • Ejemplo

  • Si el experimento aleatorio está constituido por sucesos simples dependientes, utilizaremos sucesos condicionados y el árbol de probabilidades.


Ejemplo

Teorema de Bayes o de la probabilidad a posteriori

Permite calcular probabilidades en experimentos aleatorios compuestos cuando se sabe cuál ha sido el resultado final del experimento aleatorio.

Basándonos en la imagen anterior de probabilidad condicionada:

Se llama probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido D

p(A/D) = p(A∩D)/p(D) = p(A∩D) / ( p(A∩D) + p(B∩D) )

Se llama probabilidad a posteriori porque se conoce cuál ha sido el resultado final y lo que se quiere es calcular la probabilidad de que venga de una de las ramas posibles.

Ejemplo

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