Tema 4.- Funciones. Límites y Continuidad

En esta unidad se introduce el concepto de función, así como de dominio y recorrido de ésta.

Se revisará el concepto de límite e indeterminaciones para utilizarlo en el estudio de la continuidad de una función en cada uno de sus puntos. Primero veremos la idea intuitiva de continuidad, para pasar después a su cálculo más riguroso en cada uno de los puntos de una función.

Contenidos

  1. Función real de variable real: variable dependiente y variable independiente
    1. Dominio
    2. Composición de funciones. Función inversa
    3. Recorrido. Uso de la inversa para encontrar el recorrido de una función
  2. Repaso de límites
    1. Límites determinados
    2. Límites indeterminados. Resolución de indeterminaciones
  3. Límite de una función en un punto
    1. Límites laterales de una función en un punto
  4. Continuidad de una función.
    1. Continuidad de una función en un punto
    2. Continuidad de una función en un intervalo

Una función es continua en el punto x=a ( a pertenece a su dominio de definición ) si verifica:
1.- Lim x→a- f(x) = Lim x→a+ f(x) = Lim x→a f(x)
2.- f(a) ε R
3.- Lim x→a f(x) = f(a)
Si no se verifica la 1ª condición, se dice que f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=a
Si no se verifica la 3ª condición, se dice que f(x) presenta una discontinuidad evitable en x=a

NOTA:
Sólo se puede estudiar la continuidad de una función en aquellos puntos que pertenecen al dominio. Por abuso de lenguaje se estudia la discontinuidad de los puntos que no pertenecen al dominio.

Cuando nos piden estudiar la continuidad de una función, es necesario hablar de la continuidad en todos sus puntos y no sólo en los conflictivos. La respuesta a este tipo de ejercicios será:
La función es continua en todos los puntos que pertenecen al dominio salvo en … donde presenta una discontinuidad de tipo … . Por abuso de lenguaje, estudiamos la discontinuidad en …, que es de tipo …

Ejercicios del tema

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