Distribución normal

Un variable estadística cuantitativa es continua cuando puede tomar cualquier valor en un intervalo de la recta real.

Para estudiar una variable en una población se escoge una muestra sobre la que se realiza el estudio estadístico y, a partir de ahí, se sacan conclusiones acerca del comportamiento de la población.

Se llaman medidas de centralización a los parámetros que indican el valor hacia el que tienden a situarse los datos de la distribución. De entre las medidas de centralización la mas importante es la media:

Media: cociente de la suma de todos los valores que toma la variable estadística y el número de estos:

μ = ∑ xi / N

La media no es suficiente para describir un conjunto de datos. Necesitamos algún parámetro que determine lo concentrados o dispersos que están los valores en torno a la media. Es decir, necesitamos algún parámetro que nos dé idea de l dispersión de la muestra. Utilizaremos dos:  varianza y desviación típica.

Varianza: S2 = ∑(xi-μ)2 / N

Desviación típica: σ = √ S2

Distribución normal

Muchas variables aleatorias continuas se comportan siguiendo lo que se conoce como una distribución normal.

Si una  variable aleatoria x sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, que  se designa por N(μ,σ) podremos utilizar tablas para el cálculo de la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores mayores o menores que un determinado valor.

El pico de la campana de Gauss corresponde con el valor de la media ( valor más probable). Si la campana es baja y ancha ( está achatada ) eso implica que los valores están poco concentrados en torno a la media y que por lo tanto la desviación típica es grande. Por el contrario, si la curva es alta y estrecha implica que los valores están muy concentrados en torno a la media y que la desviación típica es pequeña.

Cálculo de probabilidades en una distribución normal

Calcularemos probabilidades midiendo el área que queda encerrada bajo la campana de Gauss hasta un determinado valor.

En probabilidad, la certeza es 1, de manera que el área total bajo la curva será 1.

Si quiero calcular la probabilidad de que la variable  estadística tenga un valor inferior a z, p(x≤z), deberé calcular la superficie bajo la curva hasta z y eso me permite obtener la probabilidad.

Las probabilidades para N(0,1) están recogidas en una tabla

Para calcular probabilidades en el resto de distribuciones, tendremos que tipificar.

Tipificar

Tipificar es hacer un cambio de variable que me permite pasar de una distribución N(μ,σ) a la distribución N(0,1), cuyas probabilidades están recogidas en la tabla.

Sea una variable aleatoria x que sigue una distribución normal N(μ,σ).

p(x ≤ a)= p ( z ≤ z´)

siendo z’ = (a-μ)/σ

siendo z una variable aleatoria que sigue una distribución normal N(0,1).

Cálculo de probabilidades

  • p(z≤a); a≥0  → miramos en la tabla
  • p(z>a) = 1 – p(z≤a) → ( el total, que es 1 menos lo que queda por detrás )
  • p(z≤-a);  → por simetría

p(z≤-a) = p(z>a) = 1 – p(z≤a)

  • p(a≤z≤b) = p(z≤b) – p(z≤a)

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