Se supone que el tiempo de vida útil en miles de horas (Mh) de un cierto modelo de televisor, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 0,5Mh. Para una muestra de 4 televisores se ha obtenido una media muestral de 14,84Mh de vida útil. Calcula el tamaño muestral mínimo necesario para que el error sea inferior a 0,2Mh con probabilidad mayor o igual al 95%.

Solución:

Z_α/2.σ/√n < ε

p(z≤Z_α/2)=0,95 + 5/2 = 0,975 → Z_α/2=1’96

1,96.0,5/√n < 0,2 → n > 24,01 → n=25

NOTA: el valor de n debe verificar la desigualdad, luego debe ser el primer entero superior al que obetenemos del cálculo.

Se considera una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 320 y media 4820. Se toma una muestra de 36 elementos. Determina un intervalo de confianza del 95% para la media de la distribución normal.

Solución:

I.C.: (x’-ε, x’+ε)

x’=4820, puesto que la media de la distribución de medias muestrales es la misma que la de la población.

ε=Z_α/2.σ/√n

Z_α/2= valor de la distribución N(0,1) que verifica que p(-Z_α/2≤x≤Z_α/2)=0,95 → p(x≤Z_α/2)=0,95 + 5/2 = 0,975

Z_α/2=1,96

ε=Z_α/2.σ/√n=1,96.320/√36=104,53

I.C.: (4820-104,53, 4820+104,53)=(471 5’47 , 4924’53)

La edad de la población que vive en residencias de mayores en Madrid sigue una distribución normal de desviación típica 7,3 años y de media 78años. Se toman muestras de tamaño 50. ¿Cuál será la distribución de las medias muestrales?

Solución:

Si la variable x=edad de la población de residencias sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, la variable X’= medias muestrales, comporta según una distribución normal de media x’=μ y desviación típica σ/√n.

Por lo tanto las medias muestrales se distribuyen según:

N(78,7’3/√50) = N(78, 1’03)

Nota: si la población no hubiera seguido una distribución normal, las medias muestrales habrían seguido, aun así, una distribución normal siempre que el tamaño de la muestra fuera superior a 30 individuos.

Se supone que el tiempo de una conversación en un teléfono móvil se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 1,32 minutos. Se desea estimar la media del tiempo de las conversaciones mantenidas con un error inferior o igual en valor absoluto a 0,5 minutos y con un grado de confianza del 95%.

1. Calcúlese el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar para llevar a cabo dicha estimación mediante la media muestral.
2. Si se supone que la media del tiempo de las conversaciones es de 4,36 minutos y se elige una muestra aleatoria simple de 16 usuarios, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de las conversaciones de la muestra esté comprendido entre 4 y 5 minutos?

Solución:

1.- Nos piden el tamaño mínimo que deben tener las muestras para que el error en las medias muestrales difiera menos del 5% con un nivel de confianza del 95%.

El error tiene el siguiente comportamiento: ε = σ.Z/√n

siendo σ la desviación típica de la población: 1,32 minutos

Z: p(z≤Z)=0,95 + 0,05/2 = 0,975 → Z = 1,96

n: tamaño mínimo de la muestra

0,5 < 1,32.1,96/√n → n > (1,32.1,96/0,5)²=26,8 → n=27

2.- La distribución normal que siguen las medias muestrales de tamaño n=16 será: N(4,36 , 1,32/√16) = N(4,36 , 0,33)

Nos piden calcular la siguiente probabilidad: p(4≤x≤5) = p(x≤5) – p(x≤4)

Para poder utilizar la tabla de N(0,1), tendremos que tipificar:

z1=(5-4,36)/0,33 = 1,94

z2=(4-4,36)/0,33 = -1,09

p(4≤x≤5) = p(x≤5) – p(x≤4) = p(z≤1,94) – p(z≤-1,09)

p(z≤1,94) = 0,9738

p(z≤-1,09) = p(z ≥ 1,09) = 1 – p(z≤1,09) =  1 – 0,8508

p(4≤x≤5) = p(x≤5) – p(x≤4) = p(z≤1,94) – p(z≤-1,09) = 0,9738 – (1 – 0,8508) = 0,8246 = 82,46%

El peso de los perros adultos de una cierta raza es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con desviación típica de 0,6kg. Una muestra aleatoria de 30 animales ha dado un peso medio de 7,4kg.
a) Calcula un intervalo de confianza al 99% para el peso medio de los perros adultos de esta raza.
b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para tener una confianza del 95% de que la media muestral no se diferencie más de 0,3kg de la media de la población.

Solución:

a) Intervalo de Confianza ( 7.12 , 7.68 )
b) Tamaño mínimo de la muestra: n=16

Una variable aleatoria X tiene una distribución normal siendo su desviación típica igual a 3.
a) Si se consideran muestras de tamaño 16, ¿qué distribución sigue la variable aleatoria media muestral?
b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en más de 1 unidad de la media de la población, con probabilidad de 0,99; ¿cuántos elementos, como mínimo, deberían tomar en la muestra?

Solución:

a) población: N(µ,3) –> muestra: N(µ,3/√16)
b) n=60

La duración de las baterías de un determinado modelo de teléfono móvil tiene una distribución normal de media 34,5 horas y de desviación típica 6,9 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de 36 teléfonos móviles:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías de la muestra esté comprendida entre 32 y 32,5 horas?
b) ¿Y de que sea mayor de 38 horas?

Solución

a) Si la población sigue una distribución N(34.5 , 6.9), una muestra de tamaño n=36, seguirá una distribución N(34.5 , 6.9/√36) = N(34.5 , 1.15)

p(32≤x≤33.5) = p(x≤33.5) – p(x≤32) → tipificando → p(32≤x≤33.5) = p(z≤z₁) – p(z≤z₂)
z₁=(33.5-34.5)/1.15 = -0,87
z₂=(32-34.5)/1.15 = -2,17
p(z≤-0,87) = p(z>0,87) = 1 – p(z≤0,87) = 1 – 0,8078 = 0,1922
p(z≤-2,17) = p(z>2,17) = 1- p(z≤2,17) = 1 – 0,9850 = 0,015

b) p(x>38) = 1 – p(x≤38)
Si tipificamos: p(x≤38)=p(z≤((38-34.5)/1.15)) = p(z≤3,04) = 0,9988

Resulta una probabibilidad prácticamente nula.

Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos sigue una distribución normal con media 100 meses y desviación típica 12 meses. Determina el mínimo tamaño muestral que garantiza, con una probabilidad de 0.98, que la vida media de los electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses.

Solución

Si la vida media debe encontrarse entre 90 y 110 meses, es porque ε < 10.
ε = Z_k.σ / √n → Z_k.12/√n < 10
Como P(z≤Z_k) = 0.98 + 0.01 = 0.99 → z_K = 2.33
2.33 · 12 / √n < 10  → √n > 2,33.12/10 → n > (2,33.12/10)² → n > 7,82 → n=8

Solución: El tamaño mínimo que debe tener la muestra para que la vida media se encuentre entre 90 y 110 con probabilidad del 98% es de n=8

Se desea estudiar el gasto semanal de fotocopias, en pesetas, de los estudiantes de bachillerato de Madrid. Para ello, se ha elegido una muestra aleatoria de 9 de estos estudiantes, resultando los valores siguientes para esos gastos:
100  150  90  70  75  105  200  120  80
Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio, sigue una distribución normal de media desconocida y de desviación típica igual a 12. Determínese un intervalo de confianza al 95% para la media del gasto semanal en fotocopias por estudiante.

Solución

La población sigue una distribución normal N(µ,12)

La muestra, seguirá una distribución normal N(µ,12/√9) = N(µ,4)

Como no nos dan la media de la población, calulamos la media de la muestra a partir de los propios datos de la muestra:
media de la muestra = Σx_i/n =(100+150+90+70+75+105+200+120+80)/9=110
La muestra sigue una distribución: N(110,4).

Si el nivel de confianza tiene que ser del 95%, mi intervalo de confianza será: (µ-k, µ+k)
k=Z_k.σ/√n = Z_k.12/ √9
Como: P(x ≤ µ+k) = P( z ≤ Z_k ) = 0,975 –> Z_k = 1,96 –> k = 1,96.12/3 = 7,84
Luego, mi intervalo de confianza será: ( 110-7,84 , 110+7,84 )

Solución: La probabilidad de que al escoger un trabajador al azar su gasto semanal en fotocopias esté comprendido entre ( 102.16 , 117.84 ) es del 95%