Ejemplos de experimentos aleatorios:

1. “tirar una moneda”
2. “tirar un dado”
3. “jugar un partido de fútbol”
4. “tener un hijo”
5. “tirar 2 monedas”

Espacio muestral de cada uno de los experimentos aleatorios anteriores:

1. E={C,X}
2. E={1,2,3,4,5,6}
3. E={Ganar, Empatar, Perder}
4. E={Hombre, Mujer}
5. E={XX, XC, CX, CC}

Sucesos del experimento aleatorio “tirar un dado”

1. S1=”par”={2,4,6}
2. S2=”número primo”={1,2,3,5}
3. S3=”múltiplo de 3″={3,6}

…

Sucesos del experimento aleatorio “tirar 2 monedas”

1. S1=”que no salga ninguna cara”={XX}
2. S2=”que salga alguna cara”={XC, CX, CC}
3. S3=”que salga doble”={XX, CC}
4. …

En un cierto banco el 30% de los créditos concedidos son para vivienda, el 50% se destinan a empresas y el 20% son para consumo. Se sabe además que de los créditos concedidos a vivienda, el 10% resultan impagados, de los concedidos a empresas son impagados el 20% y de los concedidos para consumo resultan impagados el 10%.

1. Calcúlese la probabilidad de que un crédito elegido al azar sea pagado
2. ¿Cúal es la probabilidad de que un crédito elegido al azar se haya destinado a consumo sabiendo que se ha pagado?

Solución

Este es un ejercicio típico de selectividad.

Lo primero de todo, será plantear el árbol de probabilidad

1.- Aplicaremos el teorema de la probabilidad completa para obtener los créditos pagados:

p(P) = p(V∩P) + p(E∩P) + p(C∩P)= p(V).p(P/V) + p(E).p(P/E) + p(C).p(P/C) = 0,3.0,9 + 0,5.0,8 + 0,2.0,9 = 0,85 = 85%

2.- Aplicaremos el teorema de Bayes, o de la probabilidad a posteriori.

p(C/P) = p(C∩P) / p(P) = 0,2.0,9 / 0,85 = 0,2118 = 21,18%

Una cierta señalización de seguridad tiene instalados dos indicadores. Ante una emergencia, los indicadores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el primer indicador es de 0,95 y de que se active el segundo indicador es de 0,90.
a) Hallar la probabilida de que, ante una emergencia se active sólo uno de los indicadores.
b) Hallar la probabilidad de que, ante una emergencia, se active, al menos, uno de los indicadores.

Solución

p(A₁)=0,95 → p(NoA₁)=0,05
p(A₂)=0,90 → p(NoA₂)=0,10
Se trata de sucesos independientes → p( A₁∩A₂)=p(A₁).p(A₂)

a) suceso S=sólo se activa un indicador:
p(S)=p(A₁∩NoA₂) + p(NoA₁∩A₂)=p(A₁).p(NoA₂) + p(NoA₁).p(A₂)=0,95.0,10 + 0,05.0,90 = 0,14
p(S) = 0,14 = 14%

b) suceso R=se activa al menos un indicador:
p(R)=p(A₁∩NoA₂) + p(NoA₁∩A₂) + p( A₁∩A₂) = p(A₁∩NoA₂) + p(NoA₁∩A₂)=p(A₁).p(NoA₂) + p(NoA₁).p(A₂) + p(A₁).p(A₂) = 0,95.0,10 + 0,05.0,90 + 0,95.0,90 = 0,995
p(R) = 0,995 = 99,5%

En un colectivo de inversores bursátiles, el 20% realiza operaciones vía inernet. De los inversores que realizan operaciones vía internet, un 80% consulta InfoBolsaWeb. De los inversores bursátiles que no realizan operaciones vía internet sólo un 20% consulta infoBolsaWeb. Se pide:
a) Obtener la probabilidad de que un inversor bursátil elegido al azar en este colectivo consulte InfoBolsaWeb.
b) Si se elige al azar un inversor bursátil de este colectivo y resulta que consulta InfoBolsaWeb, ¿cuál es la probabilidad de que realice operaciones por internet?

Solución

a)
p(CP) = p(OI∩CP) + p(NOI∩CP) = p(OI).p(CP/OI) + p(NOI).p(CP(NOI) = 0,2.0,8 + 0,8.0,2 = 0,32

b)
Tenemos que aplicar el teorema de Bayes de probabilidad a posteriori:
p(OI/CP) = p(OI∩CP)/p(CP) = p(OI).p(CP/OI) / p(CP) = (0,2.0,8) / 0,32 = 0,16 / 0,32 = 0,5

Sean A y B dos sucesos tales que p(A)=1/2, p(B’)=2/5 y p(A’ U B’)=3/4. Calcular:
a) p(B/A)
b) p(A’/B)
Nota: A’ representa el suceso contrario o complementario al suceso A.

Solución

a) Por definición: p(B/A) = p(B∩A)/p(A)
Utilizando Morgan: p(A’ U B’)= p( (A∩B)’ ) = 1 – p(A∩B) = 3/4 → p(A∩B) = 1-3/4 = 1/4

b) Para resolver este apartado, hemos de mirar la siguiente imagen:

Como por definición: p(A’/B) = p(A’∩B)/p(B)
Viendo la imagen vemos que: p(A’∩B) = p(B) – P(A∩B)
p(B) + p(B’) = 1 → p(B) = 1-p(B’) = 1 – 2/5 = 3/5
p(A’∩B)= 3/5 – 1/4 = (12 – 5) / 20 = 7/20

De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen al azar, sucesivamente y sin
reemplazamiento, dos bolas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las bolas extraídas sean blancas?
b) Si la segunda bola ha resultado ser negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también lo haya sido?

Solución:

a)
Sea B = suceso sacar bola blanca
P(B₁B₂) = 4/6·3/5 = 12/30 = 6/15
b)
Puesto que se trata de probabilidad a posteriori, tenemos que utilizar el teorema de Bayes
Sea N = suceso sacar bola negra
P(N₁ / N₂) = P( N1 ∩ N2 ) / p( N2 ) = P( N1 ∩ N2 ) / P( N1 ∩ N1 ) + P( N1 ∩ N2 ) = (2/6·1/5) / (4/6·2/5) + (2/6·1/5) = 2/10 = 1/5

Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P(A) = 0,6; P(B) = 0,2
y P(A’∪B’) = 0,9. ( A’ es el suceso contrario del suceso A y B’ es el suceso contrario del suceso B).
a) Calcúlese P(A∩B) y razónese si los sucesos A y B son independientes.
b) Calcúlese P(A∪B) .

Solución:

a) P(A’∪B’) = P((A∩B)’)= 1 – P(A∩B) = 0,9 → P(A∩B) = 0,1

Para que los sucesos sean independientes se debe verificar que: P(A∩B) = p(A)·p(B)
Como P(A) · P(B) = 0,6 · 0,2 = 0,12 ≠0,1, los sucesos no son independientes.

b) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0,6 + 0,2 – 0,1 = 0,7.

Se lanzan dos dados. Calcúlese la probabilidad de cada uno de los siguientes
sucesos:
a) A = Se obtiene cinco en alguno de los dados.
b) B = Se obtiene un doble (los dos dados presentan la misma puntuación).
c) A∩B.
d) A∪B.

Solución:

a) P(A) = 11/36
b) P(B) = 6/36 = 1/6
c) P(A∩B) = P(A) · P(B/A) = 11/36 · 1/11 = 1/36
d) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 11/36 + 6/36 – 1/11 = 16/36 = 8/18 = 4/9