Una variable aleatoria X tiene una distribución normal siendo su desviación típica igual a 3.
a) Si se consideran muestras de tamaño 16, ¿qué distribución sigue la variable aleatoria media muestral?
b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en más de 1 unidad de la media de la población, con probabilidad de 0,99; ¿cuántos elementos, como mínimo, deberían tomar en la muestra?

Solución:

a) población: N(µ,3) –> muestra: N(µ,3/√16)
b) n=60

La duración de las baterías de un determinado modelo de teléfono móvil tiene una distribución normal de media 34,5 horas y de desviación típica 6,9 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de 36 teléfonos móviles:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías de la muestra esté comprendida entre 32 y 32,5 horas?
b) ¿Y de que sea mayor de 38 horas?

Solución

a) Si la población sigue una distribución N(34.5 , 6.9), una muestra de tamaño n=36, seguirá una distribución N(34.5 , 6.9/√36) = N(34.5 , 1.15)

p(32≤x≤33.5) = p(x≤33.5) – p(x≤32) → tipificando → p(32≤x≤33.5) = p(z≤z₁) – p(z≤z₂)
z₁=(33.5-34.5)/1.15 = -0,87
z₂=(32-34.5)/1.15 = -2,17
p(z≤-0,87) = p(z>0,87) = 1 – p(z≤0,87) = 1 – 0,8078 = 0,1922
p(z≤-2,17) = p(z>2,17) = 1- p(z≤2,17) = 1 – 0,9850 = 0,015

b) p(x>38) = 1 – p(x≤38)
Si tipificamos: p(x≤38)=p(z≤((38-34.5)/1.15)) = p(z≤3,04) = 0,9988

Resulta una probabibilidad prácticamente nula.

Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos sigue una distribución normal con media 100 meses y desviación típica 12 meses. Determina el mínimo tamaño muestral que garantiza, con una probabilidad de 0.98, que la vida media de los electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses.

Solución

Si la vida media debe encontrarse entre 90 y 110 meses, es porque ε < 10.
ε = Z_k.σ / √n → Z_k.12/√n < 10
Como P(z≤Z_k) = 0.98 + 0.01 = 0.99 → z_K = 2.33
2.33 · 12 / √n < 10  → √n > 2,33.12/10 → n > (2,33.12/10)² → n > 7,82 → n=8

Solución: El tamaño mínimo que debe tener la muestra para que la vida media se encuentre entre 90 y 110 con probabilidad del 98% es de n=8

Se desea estudiar el gasto semanal de fotocopias, en pesetas, de los estudiantes de bachillerato de Madrid. Para ello, se ha elegido una muestra aleatoria de 9 de estos estudiantes, resultando los valores siguientes para esos gastos:
100  150  90  70  75  105  200  120  80
Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio, sigue una distribución normal de media desconocida y de desviación típica igual a 12. Determínese un intervalo de confianza al 95% para la media del gasto semanal en fotocopias por estudiante.

Solución

La población sigue una distribución normal N(µ,12)

La muestra, seguirá una distribución normal N(µ,12/√9) = N(µ,4)

Como no nos dan la media de la población, calulamos la media de la muestra a partir de los propios datos de la muestra:
media de la muestra = Σx_i/n =(100+150+90+70+75+105+200+120+80)/9=110
La muestra sigue una distribución: N(110,4).

Si el nivel de confianza tiene que ser del 95%, mi intervalo de confianza será: (µ-k, µ+k)
k=Z_k.σ/√n = Z_k.12/ √9
Como: P(x ≤ µ+k) = P( z ≤ Z_k ) = 0,975 –> Z_k = 1,96 –> k = 1,96.12/3 = 7,84
Luego, mi intervalo de confianza será: ( 110-7,84 , 110+7,84 )

Solución: La probabilidad de que al escoger un trabajador al azar su gasto semanal en fotocopias esté comprendido entre ( 102.16 , 117.84 ) es del 95%

Una cierta señalización de seguridad tiene instalados dos indicadores. Ante una emergencia, los indicadores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el primer indicador es de 0,95 y de que se active el segundo indicador es de 0,90.
a) Hallar la probabilida de que, ante una emergencia se active sólo uno de los indicadores.
b) Hallar la probabilidad de que, ante una emergencia, se active, al menos, uno de los indicadores.

Solución

p(A₁)=0,95 → p(NoA₁)=0,05
p(A₂)=0,90 → p(NoA₂)=0,10
Se trata de sucesos independientes → p( A₁∩A₂)=p(A₁).p(A₂)

a) suceso S=sólo se activa un indicador:
p(S)=p(A₁∩NoA₂) + p(NoA₁∩A₂)=p(A₁).p(NoA₂) + p(NoA₁).p(A₂)=0,95.0,10 + 0,05.0,90 = 0,14
p(S) = 0,14 = 14%

b) suceso R=se activa al menos un indicador:
p(R)=p(A₁∩NoA₂) + p(NoA₁∩A₂) + p( A₁∩A₂) = p(A₁∩NoA₂) + p(NoA₁∩A₂)=p(A₁).p(NoA₂) + p(NoA₁).p(A₂) + p(A₁).p(A₂) = 0,95.0,10 + 0,05.0,90 + 0,95.0,90 = 0,995
p(R) = 0,995 = 99,5%

En un colectivo de inversores bursátiles, el 20% realiza operaciones vía inernet. De los inversores que realizan operaciones vía internet, un 80% consulta InfoBolsaWeb. De los inversores bursátiles que no realizan operaciones vía internet sólo un 20% consulta infoBolsaWeb. Se pide:
a) Obtener la probabilidad de que un inversor bursátil elegido al azar en este colectivo consulte InfoBolsaWeb.
b) Si se elige al azar un inversor bursátil de este colectivo y resulta que consulta InfoBolsaWeb, ¿cuál es la probabilidad de que realice operaciones por internet?

Solución

a)
p(CP) = p(OI∩CP) + p(NOI∩CP) = p(OI).p(CP/OI) + p(NOI).p(CP(NOI) = 0,2.0,8 + 0,8.0,2 = 0,32

b)
Tenemos que aplicar el teorema de Bayes de probabilidad a posteriori:
p(OI/CP) = p(OI∩CP)/p(CP) = p(OI).p(CP/OI) / p(CP) = (0,2.0,8) / 0,32 = 0,16 / 0,32 = 0,5

Sean A y B dos sucesos tales que p(A)=1/2, p(B’)=2/5 y p(A’ U B’)=3/4. Calcular:
a) p(B/A)
b) p(A’/B)
Nota: A’ representa el suceso contrario o complementario al suceso A.

Solución

a) Por definición: p(B/A) = p(B∩A)/p(A)
Utilizando Morgan: p(A’ U B’)= p( (A∩B)’ ) = 1 – p(A∩B) = 3/4 → p(A∩B) = 1-3/4 = 1/4

b) Para resolver este apartado, hemos de mirar la siguiente imagen:

Como por definición: p(A’/B) = p(A’∩B)/p(B)
Viendo la imagen vemos que: p(A’∩B) = p(B) – P(A∩B)
p(B) + p(B’) = 1 → p(B) = 1-p(B’) = 1 – 2/5 = 3/5
p(A’∩B)= 3/5 – 1/4 = (12 – 5) / 20 = 7/20

De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen al azar, sucesivamente y sin
reemplazamiento, dos bolas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las bolas extraídas sean blancas?
b) Si la segunda bola ha resultado ser negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también lo haya sido?

Solución:

a)
Sea B = suceso sacar bola blanca
P(B₁B₂) = 4/6·3/5 = 12/30 = 6/15
b)
Puesto que se trata de probabilidad a posteriori, tenemos que utilizar el teorema de Bayes
Sea N = suceso sacar bola negra
P(N₁ / N₂) = P( N1 ∩ N2 ) / p( N2 ) = P( N1 ∩ N2 ) / P( N1 ∩ N1 ) + P( N1 ∩ N2 ) = (2/6·1/5) / (4/6·2/5) + (2/6·1/5) = 2/10 = 1/5

Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P(A) = 0,6; P(B) = 0,2
y P(A’∪B’) = 0,9. ( A’ es el suceso contrario del suceso A y B’ es el suceso contrario del suceso B).
a) Calcúlese P(A∩B) y razónese si los sucesos A y B son independientes.
b) Calcúlese P(A∪B) .

Solución:

a) P(A’∪B’) = P((A∩B)’)= 1 – P(A∩B) = 0,9 → P(A∩B) = 0,1

Para que los sucesos sean independientes se debe verificar que: P(A∩B) = p(A)·p(B)
Como P(A) · P(B) = 0,6 · 0,2 = 0,12 ≠0,1, los sucesos no son independientes.

b) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0,6 + 0,2 – 0,1 = 0,7.

Se lanzan dos dados. Calcúlese la probabilidad de cada uno de los siguientes
sucesos:
a) A = Se obtiene cinco en alguno de los dados.
b) B = Se obtiene un doble (los dos dados presentan la misma puntuación).
c) A∩B.
d) A∪B.

Solución:

a) P(A) = 11/36
b) P(B) = 6/36 = 1/6
c) P(A∩B) = P(A) · P(B/A) = 11/36 · 1/11 = 1/36
d) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 11/36 + 6/36 – 1/11 = 16/36 = 8/18 = 4/9