eScire - Nuevas tecnologías y educación » Matemáticas C.C.S.S. 2

Experimento aleatorio

Aurora Lucas — Mon, 23 May 2011 12:09:12 +0000

Ejemplos de experimentos aleatorios:

“tirar una moneda”
“tirar un dado”
“jugar un partido de fútbol”
“tener un hijo”
“tirar 2 monedas”

Espacio muestral de cada uno de los experimentos aleatorios anteriores:

E={C,X}
E={1,2,3,4,5,6}
E={Ganar, Empatar, Perder}
E={Hombre, Mujer}
E={XX, XC, CX, CC}

Sucesos del experimento aleatorio “tirar un dado”

S1=”par”={2,4,6}
S2=”número primo”={1,2,3,5}
S3=”múltiplo de 3″={3,6}

…

Sucesos del experimento aleatorio “tirar 2 monedas”

S1=”que no salga ninguna cara”={XX}
S2=”que salga alguna cara”={XC, CX, CC}
S3=”que salga doble”={XX, CC}
…

Tamaño mínimo de la muestra

Aurora Lucas — Thu, 19 May 2011 14:35:35 +0000

Se supone que el tiempo de vida útil en miles de horas (Mh) de un cierto modelo de televisor, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 0,5Mh. Para una muestra de 4 televisores se ha obtenido una media muestral de 14,84Mh de vida útil. Calcula el tamaño muestral mínimo necesario para que el error sea inferior a 0,2Mh con probabilidad mayor o igual al 95%.

Solución:

Z_α/2.σ/√n < ε

p(z≤Z_α/2)=0,95 + 5/2 = 0,975 → Z_α/2=1’96

1,96.0,5/√n < 0,2 → n > 24,01 → n=25

NOTA: el valor de n debe verificar la desigualdad, luego debe ser el primer entero superior al que obetenemos del cálculo.

Intervalo de confianza

Aurora Lucas — Thu, 19 May 2011 14:26:11 +0000

Se considera una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 320 y media 4820. Se toma una muestra de 36 elementos. Determina un intervalo de confianza del 95% para la media de la distribución normal.

Solución:

I.C.: (x’-ε, x’+ε)

x’=4820, puesto que la media de la distribución de medias muestrales es la misma que la de la población.

ε=Z_α/2.σ/√n

Z_α/2= valor de la distribución N(0,1) que verifica que p(-Z_α/2≤x≤Z_α/2)=0,95 → p(x≤Z_α/2)=0,95 + 5/2 = 0,975

Z_α/2=1,96

ε=Z_α/2.σ/√n=1,96.320/√36=104,53

I.C.: (4820-104,53, 4820+104,53)=(471 5’47 , 4924’53)

Distribución de las medias muestrales

Aurora Lucas — Thu, 19 May 2011 14:12:36 +0000

La edad de la población que vive en residencias de mayores en Madrid sigue una distribución normal de desviación típica 7,3 años y de media 78años. Se toman muestras de tamaño 50. ¿Cuál será la distribución de las medias muestrales?

Solución:

Si la variable x=edad de la población de residencias sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, la variable X’= medias muestrales, comporta según una distribución normal de media x’=μ y desviación típica σ/√n.

Por lo tanto las medias muestrales se distribuyen según:

N(78,7’3/√50) = N(78, 1’03)

Nota: si la población no hubiera seguido una distribución normal, las medias muestrales habrían seguido, aun así, una distribución normal siempre que el tamaño de la muestra fuera superior a 30 individuos.

Monotonía, recta tangente y área.-J2009B2

Aurora Lucas — Mon, 03 May 2010 16:30:32 +0000

Se considera la función real de variable real definida por: f(x) = (x²-1)²

a) Determina los extremos relativos de f(x).
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x=3.
c) Calcula el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f(x) y el eje OX.

Solución:

a) Para estudiar los extremos relativos ( máximos y minímos ) debemos calcular la derivada de la función:
f’(x)=2.(x²-1).2x= 4x.(x²-1)
Calculamos los ceros de la derivada:
f’(x)=0; 4x.(x²-1)=0; x=0 y x²-1=0; x=0, x=1, x=-1

Tenemos 3 posibles extremos relativos. Para ver si son máximos o mínimos podemos hacer 2 cosas:
* estudiar el signo de f’(x) en torno a esos puntos
* estudiar el signo de f”(x)

En este caso lo haremos del 2º modo:
f”(x)=12x²-4
f”(x=0)=-4 < 0 –> x=0 es un máximo
f”(x=-1)=8 >0 –> x=-1 es un mínimo
f”(x=1)=8 >0 –> x=1 es un mínimo

f(o)=1; (0,1) ES UN MÁXIMO
f(-1)=0; (-1,0) ES UN MÍNIMO
f(1)=0; (1,0) ES UN MÍNIMO

b) La ecuación de la recta tangente es: y=mx+n
La recta tangente debe cumplir 2 condiciones:
* La tangente de la recta y de f(x) en dicho punto x=3 debe ser la misma:
m=f’(x=3); m=4.3(9-1)=96

* La recta tangente debe pasar por el punto (x=3,f(x=3)): (3, 64)
64=96.3-n –> n=-224

La ecuación de la recta tangente será: y=96x-224

c) Representamos la función para ver el recinto al que hace referencia:

El área que nos piden será la que queda encerrada entre x=-1 y x=1

A=∫_-1¹ (x²-1)² dx= F(1) – F(-1)
Para hacer la integral de manera mas sencilla, desarrollamos el cuadrado, para que nos quede un polinomio:
(x²-1)² =x⁴-2x²+1
F(x) = ∫(x⁴-2x²+1)dx=x⁵/5-2x³/3-x
F(1)=1/5 -2/3 -1
F(-1)= 1/5 + 2/3 +1

A=F(1) – F(-1) = 16/15 u²

Monotonía, Representación y Área.-J2002B2

Aurora Lucas — Mon, 03 May 2010 08:57:42 +0000

Se considera la curva de ecuación y = x³ – 4x
a) Hallar las coordenadas de sus puntos de intersección con los ejes coordenados y de sus máximos y mínimos relativos, si existen
b) Representar gráficamente la curva
c) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la curva y el eje OX

Solución

a) Corte con el eje x:
y=0 → x³ – 4x = 0 → x·(x² – 4) = 0 → x=0, x=2, x=-2
Puntos de corte con el eje x: (0,0), (2,0), (-2,0)

Puntos de corte con el eje y:
x=0 → y=0
Puntos de corte con el eje y: (0,0)

Extremos relativos:
Para calcular los extremos relativos, derivamos la función e igualamos a 0:
y’=3x² – 4
y’=0 → 3x² – 4 = 0 → x² = 4/3 → x = +(4/3)^1/2
Si x=(4/3)^1/2, y=(4/3)^3/2 – 4.(4/3)^1/2 = -16/3^3/2
Si x=-(4/3)^1/2, y=-(4/3)^3/2 + 4.(4/3)^1/2 = 16/3^3/2

Para ver si son máximos o mínimos, calculamos la segunda derivada:
y” = 6x
y”(x=(4/3)^1/2) > 0 → ((4/3)^1/2, -16/3^3/2) es un MÍNIMO
y”(x=-(4/3)^1/2) < 0 → (-(4/3)^1/2, 16/3^3/2) es un MÁXIMO

b)
Utilizamos los datos hallados en el ejercicio anterior para representar la curva:

c) Para calcular el área que nos piden, nos fijamos en la representación y vemos que la curva delimita dos zonas con el eje OX: (-2,0) y (0,2)
Para calcular estas áreas, utilizaremos la integral definida, teniendo en cuenta que cuando el área queda por debajo del eje OX, la integral será negativa y tendremos que cambiar de signo para obtener el área. El área total será

∫(x³-4x)dx = x⁴/4 -4x²/2
A = -( 0 – (16/4-16/2)) + ((16/4-16/2)-0) = 16/4 + 16/4 = 16/2 = 8u²

A = 8u²

Tangente.-S1998B2

Aurora Lucas — Sun, 02 May 2010 19:34:14 +0000

Hállense las rectas tangentes a la curva f(x) = x³ – 3x² + 8 que sean paralelas a la recta y = 9x + 4

Solución

Para que dos rectas sean paralelas, deben tener la misma pendiente. La recta y = 9x + 4 tiene pendiente m=9. Tenemos que buscar todos los puntos de f(x) = x³ – 3x² + 8 cuya pendiente sea 9, es decir, todos los puntos cuya derivada sea igual a 9.

Lo primero que hacemos es derivar la función:

f´(x) = 3x² – 6x

Sabemos que la pendiente de la recta tangente en un punto coincide con su derivada. Calculamos f´(x) = 9:
3x² – 6x = 9
3x² – 6x – 9 = 0
x = (6 + ( 36 + 9·3.4 )^1/2))/2.3 = (6 + 12)/6
Tenemos 2 valores de x posibles:
x₁ = 18/6 = 3
x₂ = -6/6 = -1
Los puntos de f(x) donde la tangente vale m=9 son:
P₁ –> x=3, f(x) = 8
P₂ –> x=-1, f(x) = 4

La recta tangente en P₁ será:
y = 9x + b
Para calcular b sabemos que la recta debe pasar por P₁ –>
8 = 9.3 + b –> b = 8-27 = -19
Solución: y = 9x – 19

La recta tangente en P₂ será:
y = 9x + b
Para calcular b sabemos que la recta debe pasar por P₂ –>
4 = 9.(-1) + b –> b = 4 + 9 = 13
Solución: y = 9x + 13

S2009A4.-Tamaño mínimo de la muestra y distribución normal de las medias muestrales

Aurora Lucas — Mon, 01 Mar 2010 18:01:40 +0000

Se supone que el tiempo de una conversación en un teléfono móvil se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 1,32 minutos. Se desea estimar la media del tiempo de las conversaciones mantenidas con un error inferior o igual en valor absoluto a 0,5 minutos y con un grado de confianza del 95%.

Calcúlese el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar para llevar a cabo dicha estimación mediante la media muestral.
Si se supone que la media del tiempo de las conversaciones es de 4,36 minutos y se elige una muestra aleatoria simple de 16 usuarios, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de las conversaciones de la muestra esté comprendido entre 4 y 5 minutos?

Solución:

1.- Nos piden el tamaño mínimo que deben tener las muestras para que el error en las medias muestrales difiera menos del 5% con un nivel de confianza del 95%.

El error tiene el siguiente comportamiento: ε = σ.Z/√n

siendo σ la desviación típica de la población: 1,32 minutos

Z: p(z≤Z)=0,95 + 0,05/2 = 0,975 → Z = 1,96

n: tamaño mínimo de la muestra

0,5 < 1,32.1,96/√n → n > (1,32.1,96/0,5)²=26,8 → n=27

2.- La distribución normal que siguen las medias muestrales de tamaño n=16 será: N(4,36 , 1,32/√16) = N(4,36 , 0,33)

Nos piden calcular la siguiente probabilidad: p(4≤x≤5) = p(x≤5) – p(x≤4)

Para poder utilizar la tabla de N(0,1), tendremos que tipificar:

z1=(5-4,36)/0,33 = 1,94

z2=(4-4,36)/0,33 = -1,09

p(4≤x≤5) = p(x≤5) – p(x≤4) = p(z≤1,94) – p(z≤-1,09)

p(z≤1,94) = 0,9738

p(z≤-1,09) = p(z ≥ 1,09) = 1 – p(z≤1,09) = 1 – 0,8508

p(4≤x≤5) = p(x≤5) – p(x≤4) = p(z≤1,94) – p(z≤-1,09) = 0,9738 – (1 – 0,8508) = 0,8246 = 82,46%

S2009A3.- Teorema de la probabilidad completa y Bayes

Aurora Lucas — Mon, 01 Mar 2010 16:14:57 +0000

En un cierto banco el 30% de los créditos concedidos son para vivienda, el 50% se destinan a empresas y el 20% son para consumo. Se sabe además que de los créditos concedidos a vivienda, el 10% resultan impagados, de los concedidos a empresas son impagados el 20% y de los concedidos para consumo resultan impagados el 10%.

Calcúlese la probabilidad de que un crédito elegido al azar sea pagado
¿Cúal es la probabilidad de que un crédito elegido al azar se haya destinado a consumo sabiendo que se ha pagado?

Solución

Este es un ejercicio típico de selectividad.

Lo primero de todo, será plantear el árbol de probabilidad

Vivienda V:0,3

P:0,9

NP:0,1

Empresa E:0,5

P:0,8

NP:0,2

Consumo C:0,2

P:0,9

NP:0,1

1.- Aplicaremos el teorema de la probabilidad completa para obtener los créditos pagados:

p(P) = p(V∩P) + p(E∩P) + p(C∩P)= p(V).p(P/V) + p(E).p(P/E) + p(C).p(P/C) = 0,3.0,9 + 0,5.0,8 + 0,2.0,9 = 0,85 = 85%

2.- Aplicaremos el teorema de Bayes, o de la probabilidad a posteriori.

p(C/P) = p(C∩P) / p(P) = 0,2.0,9 / 0,85 = 0,2118 = 21,18%

Intervalo de confianza y tamaño mínimo de la muestra

Aurora Lucas — Sat, 27 Feb 2010 16:46:04 +0000

El peso de los perros adultos de una cierta raza es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con desviación típica de 0,6kg. Una muestra aleatoria de 30 animales ha dado un peso medio de 7,4kg.
a) Calcula un intervalo de confianza al 99% para el peso medio de los perros adultos de esta raza.
b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para tener una confianza del 95% de que la media muestral no se diferencie más de 0,3kg de la media de la población.

Solución:

a) Intervalo de Confianza ( 7.12 , 7.68 )
b) Tamaño mínimo de la muestra: n=16