Se considera la función real de variable real definida por: f(x) = (x²-1)²

a) Determina los extremos relativos de f(x).
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x=3.
c) Calcula el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f(x) y el eje OX.

Solución:

a) Para estudiar los extremos relativos ( máximos y minímos ) debemos calcular la derivada de la función:
f’(x)=2.(x²-1).2x= 4x.(x²-1)
Calculamos los ceros de la derivada:
f’(x)=0; 4x.(x²-1)=0; x=0 y x²-1=0; x=0, x=1, x=-1

Tenemos 3 posibles extremos relativos. Para ver si son máximos o mínimos podemos hacer 2 cosas:
* estudiar el signo de f’(x) en torno a esos puntos
* estudiar el signo de f”(x)

En este caso lo haremos del 2º modo:
f”(x)=12x²-4
f”(x=0)=-4 < 0 –> x=0 es un máximo
f”(x=-1)=8 >0 –> x=-1 es un mínimo
f”(x=1)=8 >0 –> x=1 es un mínimo

f(o)=1; (0,1) ES UN MÁXIMO
f(-1)=0; (-1,0) ES UN MÍNIMO
f(1)=0; (1,0) ES UN MÍNIMO

b) La ecuación de la recta tangente es: y=mx+n
La recta tangente debe cumplir 2 condiciones:
* La tangente de la recta y de f(x) en dicho punto x=3 debe ser la misma:
m=f’(x=3); m=4.3(9-1)=96

* La recta tangente debe pasar por el punto (x=3,f(x=3)): (3, 64)
64=96.3-n –> n=-224

La ecuación de la recta tangente será: y=96x-224

c) Representamos la función para ver el recinto al que hace referencia:

El área que nos piden será la que queda encerrada entre x=-1 y x=1

A=∫_-1¹ (x²-1)² dx= F(1) – F(-1)
Para hacer la integral de manera mas sencilla, desarrollamos el cuadrado, para que nos quede un polinomio:
(x²-1)² =x⁴-2x²+1
F(x) = ∫(x⁴-2x²+1)dx=x⁵/5-2x³/3-x
F(1)=1/5 -2/3 -1
F(-1)= 1/5 + 2/3 +1

A=F(1) – F(-1) = 16/15 u²

Se considera la curva de ecuación y = x³ – 4x
a) Hallar las coordenadas de sus puntos de intersección con los ejes coordenados y de sus máximos y mínimos relativos, si existen
b) Representar gráficamente la curva
c) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la curva y el eje OX

Solución

Sea la función f(x) = 2x³ + bx² + ax – 5
a) Hállense los valores de a y b de forma que f(x) tenga un máximo en x=1 y un mínimo en x=2.
b) Hállese el área de la región limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x=0 y x=3

Solución

a) Para que x=1 sea un máximo y x=2 sea un mínimo, la primera derivada de f(x) debe ser igual a “0″ en estos puntos.
f’(x)=6x² + 2·b·x + a
f’(x=1) = 6.1 + 2b + a = 0
f’(x=2) = 6·4 + 2·b·2 + a = 0
Tenemos 2 ecuaciones y 2 incógnitas:
6 + 2b + a = 0
24 + 4b + a = 0
Si resolvemos el sistema por cualquiera de los métodos que conocemos, por ejemplo sustitución:
a = -6 – 2b
24 + 4b – 6 – 2b = 0 → 18 + 2b = 0 → 2b = -18 → b = -18/2 → b = -9
a = -6 – 2b = -6 – 2·(-9) = -6 + 18 → a = 12

b) Para calcular el área, representamos la función. Encontramos los puntos de corte con el eje x:

Por Ruffini, llegamos a que x=1 es una raiz. Resolvemos la ecuación de 2º grado para encontrar el resto:

(2x³ -9x² + 12x – 5)/(x-1) = 2x²-7x+5
2x²-7x+5=0 → x = (7 ± (49-40)^1/2)/4 = (7 ± 3)/4 → x=1 y x=10/4 = 5/2

Hay dos tramos: Entre x=0 y x=5/2, la función queda por debajo del eje y por lo tanto el área será la integral definida cambiada de signo: A1=-∫₀^5/2f(x).dx = – (F(5/2) – F(0))

Entre 5/2 y 3, la función queda por encima del eje x y por lo tanto, el área coincide con la integral.

A2=∫_5/2³f(x).dx = F(3) – F(5/2)

A = A1 + A2

F(x)=∫(2x³ -9x² + 12x – 5)dx=2x⁴/4 -9x³/3+12x²/2 -5x = x⁴/2-3x³+6x²-5x
A = -(-75/32 – 0) + (51/2 -(-75/32)) = 75/32 + 51/2 + 75/32 = 75/16 + 51/2 = 483/16u²