Sea la función:
f(x) = ( -x³ + 1 ) / ( 2x² + 2x – 12 )
Se pide:
a) Especificar su dominio de definición
b) Estudiar su continuidad
c) Calcular las asíntotas si las hubiera

Solución

a) Por tratarse de una fracción de polinomios, el dominio estará formado por todos los puntos que pertenecen a R salvo aquéllos que hacen “0″ el denominador:

2x² + 2x -12 = 0
x = (-2 ± (4 + 96)^1/2)/4 = (-2 ±10)/4
x₁ = (-2 + 10)/4 = 2
x₂ = (-2-10)/4 = -3

b) Por tratarse de un cociente de polinomios, la función será continua en todo su dominio de definición.
Por abuso de lenguaje, podemos estudiar la discontinuidad en los puntos que no pertenecen al dominio.
x=2
lim_{(x → 2^-)} f(x) = -∞
lim_{(x → 2⁺)}f(x) = +∞
Por abuso de lenguaje, f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=2
x=-3
lim_{(x → -3^-)} f(x) = +∞
lim_{(x → -3⁺)}f(x) = -∞
Por abuso de lenguaje, f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=-3

Solución: la función es continua en todo su dominio y por abuso de lenguaje podemos decir que presenta discontinuidades inevitables en x=2 y x=-3

c)
Asíntotas verticales:
x=2 y x=-3 ( son los puntos que hacen “0″ el denominador )

Asíntotas horizontales:
Serán los puntos a los que se acerca la función cuando x → ±∞
lim_{(x → ±∞)} f(x) = ±∞
No hay asíntotas horizontales –> puede haber asíntotas oblicuas

Asíntotas oblicuas:
Una asíntota oblicua es una recta del tipo y = mx + b donde:
m = lim_{(x → ±∞)} f(x)/x = lim_{(x → ±∞)} (-x³ +1)/(2x³+2x²-12x) = -1/2
b = lim_{(x → ±∞)} (f(x) – m·x) = lim_{(x → ±∞)} (-x³+1 -(-1/2)(2x² + 2x -12))/(2x² + 2x -12 ) = lim_{(x → ±∞)} (x²-5)/(2x² + 2x -12 ) = 1/2
Solución: y = -1/2x + 1/2

Se considera la función:

a) Estúdiese si f(x) es continua en x=2
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto x=3
c) Calcúlense las asíntotas oblicuas

Solución

a) Para que la función sea continua en un el punto x=2 debe ocurrir que:

lim_{(x → 2^-)}f(x) = lim_{(x → 2^-)}(x+2)/(x-1) = 4/1 = 4
lim_{(x → 2⁺)}f(x) = lim_{(x → 2⁺)}(3x²-2x)/(x+2) = 8/4 = 2
f(2) = 4
Puesto que no coinciden los límites laterales, la función es discontinua en x=2, donde presenta una discontinuidad inevitable

b) La recta tangente en x=3 tendrá por ecuación y=mx+b
m=f´(x=3)
Para calcular f´(x=3) debemos utilizar el trozo de la función en que x>2´
f´(x) = ((6x-2)(x+2)-(3x²-2x).1)/(x+2)²=(3x²+12x-4)/(x+2)²
f´(x=3) = 62/25
Para calcular “b”, sé que la recta debe pasar por el punto x=3, f(x=3)
f(x=3) = (27-6)/5 = 19/5
19/5 = 62/25·3 +b → b = 19/5 – 186/25 = (95-186)/25 = -91/25
La recta tangente en x=3 es y = 62/25·x – 91/25

c) En la rama x2
Asíntota oblicua: y = mx + b
m = lim_{(x → +∞)}f(x)/x = lim_{(x → +∞)} (3x²-2x)/x(x+2) = 3
b = lim_{(x → +∞)} f(x) -m·x = (3x²-2x)/(x+2) – 3x = -8
Asíntota oblicua: y = 3x – 8

Sea la función:
f(x) = x / (1-x²)
Se pide:
a) Especificar su dominio de definición
b) Estudiar su continuidad
c) Calcular las asíntotas si las hubiera

Solución

a) Por tratarse de una fracción de polinomios, el dominio estará formado por todos los puntos que pertenecen a R salvo aquéllos que hacen “0″ el denominador:
2x² + 2x -12 = 0
x = (-2 ± (4 + 96)^1/2)/4 = (-2 ±10)/4
x₁ = (-2 + 10)/4 = 2
x₂ = (-2-10)/4 = -3

b) Por tratarse de un cociente de polinomios, la función será continua en todo su dominio de definición.
Por abuso de lenguaje, podemos estudiar la discontinuidad en los puntos que no pertenecen al dominio.
x=2
lim_{(x → 2^-)} f(x) = -∞
lim_{(x → 2⁺)}f(x) = +∞
Por abuso de lenguaje, f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=2
x=-3
lim_{(x → -3^-)} f(x) = +∞
lim_{(x → -3⁺)}f(x) = -∞
Por abuso de lenguaje, f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=-3

Solución: la función es continua en todo su dominio y por abuso de lenguaje podemos decir que presenta discontinuidades inevitables en x=2 y x=-3

c)
Asíntotas verticales:
x=2 y x=-3 ( son los puntos que hacen “0″ el denominador )

Asíntotas horizontales:
Serán los puntos a los que se acerca la función cuando x → ±∞
lim_{(x → ±∞)} f(x) = ±∞
No hay asíntotas horizontales –> puede haber asíntotas oblicuas

Asíntotas oblicuas:
Una asíntota oblicua es una recta del tipo y = mx + b donde:
m = lim_{(x → ±∞)} f(x)/x = lim_{(x → ±∞)} (-x³ +1)/(2x³+2x²-12x) = -1/2
b = lim_{(x → ±∞)} (f(x) – m·x) = lim_{(x → ±∞)} (-x³+1 -(-1/2)(2x² + 2x -12))/(2x² + 2x -12 ) = lim_{(x → ±∞)} (x²-5)/(2x² + 2x -12 ) = 1/2
Solución: y = -1/2x + 1/2

Sea la función

a) Estudiese su continuidad
b) Representa gráficamente

Solución

a) Se trata de una función a trozos. Cada uno de los trozos, por ser polinomios, son continuos en su dominio de definición, puesto que un polinomio es siempre continuo. El único punto conflictivo será el punto de corte: x=5

Por definición, una función es continua en un punto “a” cuando:

En el caso de x=5

lim _(x–>5^-)f(x) = lim _(x–>5^-) -x²+5·x = 0
lim_(x–>5⁺)f(x) = lim _(x–>5⁺) x-5 = 0
f(5) = x – 5 = 0

Solución: puesto que la función es continua en x=5, la función es continua en todo su dominio de definición