Se considera la función real de variable real definida por: f(x) = (x²-1)²

a) Determina los extremos relativos de f(x).
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x=3.
c) Calcula el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f(x) y el eje OX.

Solución:

a) Para estudiar los extremos relativos ( máximos y minímos ) debemos calcular la derivada de la función:
f’(x)=2.(x²-1).2x= 4x.(x²-1)
Calculamos los ceros de la derivada:
f’(x)=0; 4x.(x²-1)=0; x=0 y x²-1=0; x=0, x=1, x=-1

Tenemos 3 posibles extremos relativos. Para ver si son máximos o mínimos podemos hacer 2 cosas:
* estudiar el signo de f’(x) en torno a esos puntos
* estudiar el signo de f”(x)

En este caso lo haremos del 2º modo:
f”(x)=12x²-4
f”(x=0)=-4 < 0 –> x=0 es un máximo
f”(x=-1)=8 >0 –> x=-1 es un mínimo
f”(x=1)=8 >0 –> x=1 es un mínimo

f(o)=1; (0,1) ES UN MÁXIMO
f(-1)=0; (-1,0) ES UN MÍNIMO
f(1)=0; (1,0) ES UN MÍNIMO

b) La ecuación de la recta tangente es: y=mx+n
La recta tangente debe cumplir 2 condiciones:
* La tangente de la recta y de f(x) en dicho punto x=3 debe ser la misma:
m=f’(x=3); m=4.3(9-1)=96

* La recta tangente debe pasar por el punto (x=3,f(x=3)): (3, 64)
64=96.3-n –> n=-224

La ecuación de la recta tangente será: y=96x-224

c) Representamos la función para ver el recinto al que hace referencia:

El área que nos piden será la que queda encerrada entre x=-1 y x=1

A=∫_-1¹ (x²-1)² dx= F(1) – F(-1)
Para hacer la integral de manera mas sencilla, desarrollamos el cuadrado, para que nos quede un polinomio:
(x²-1)² =x⁴-2x²+1
F(x) = ∫(x⁴-2x²+1)dx=x⁵/5-2x³/3-x
F(1)=1/5 -2/3 -1
F(-1)= 1/5 + 2/3 +1

A=F(1) – F(-1) = 16/15 u²

Se considera la curva de ecuación y = x³ – 4x
a) Hallar las coordenadas de sus puntos de intersección con los ejes coordenados y de sus máximos y mínimos relativos, si existen
b) Representar gráficamente la curva
c) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la curva y el eje OX

Solución

Hállense las rectas tangentes a la curva f(x) = x³ – 3x² + 8 que sean paralelas a la recta y = 9x + 4

Solución

Sea la siguiente función f(x):
| x³ – 2x² + x -1 si x≤1
| (x+3)/(x-2) si x>1
Calcula:
a) Dominio y continuidad
b) Monotonía
c) Asíntotas
d) Representa gráficamente

Solución:

a) Se define dominio de una funcióno como los valores que puede tomar la variable independiente (x) para que exista la variable dependiente (y). Puesto que se trata de una función a trozos, detemos estudiar el dominio de cada trozo y ver si existe algún problema en su tramo de definición.

x³ – 2x² + x -1 es un polinomio. No hay problemas en su dominio

(x+3)/(x-2) es una función racional, que tendrá problemas de dominio en los ceros del denominador: x-2=0; x=2. Este punto pertenece a su tramo de definición, que es (1, +∞), luego constituye un problema del dominio de la función total.

Dom f(x) = { x € R – x=2} = x € (-∞, 2) U (2, +∞)

El único punto conflictivo en el estudio de la continuidad será el punto de separación de los dos tramos de la función: x=1

Para que una función sea continua en un punto x=a se debe cumplir que:
1. Exista f(a)
2. Exista límite: Lim _x→a- f(x) = Lim _x→a+ f(x) = Lim _x→a f(x)
3. f(a) =Lim _x→a f(x)

Si no se cumple la 2ª condición, la función será discontinua inevitable en x=a.
Si no se cumple la 3ª condición, la función será discontinua evitable en x=a.

Vemos qué pasa en x=1.
* f(1) = (1)³ – 2(1)² + 1 -1 = -1
* Lim _x→1- f(x) = Lim _x→1-x³ – 2x² + x -1 = (1)³ – 2(1)² + 1 -1 = -1
Lim _x→1+ f(x) = Lim _x→1+ (x+3)/(x-2) = (1+3)/(1-2) = 4/-1 = -4
-1 ≠ -4 –> no existe Lim _x→1 f(x) –> La función f(x) es discontinua inevitable en x=1

La función f(x) es continua en todo su dominio salvo en x=1 donde presenta una discontinuidad inevitable.

b) Para estudiar la monotonía, tenemos que calcular la derivada de una función a trozos: f’(x) =
|3x² -4x + 1 si x<1
|-5/(x-2)² si x>1

(NOTA: no incluimos el 1, puesto que donde la función no es continua, tampoco va a ser derivable)

Calculamos los puntos que verifican que f’(x) = 0

3x² -4x + 1=0; x=1 y x=1/3. Puesto que ambos puntos pertenecen al tramo en el que está definida nuestra función, serán  posibles extremos relativos.
Si estudiamos el signo:
(-∞, 1/3 ) f’(x) >0 –> f(x) Creciente
(1/3, 1) f’(x) >0 –> f(x) Decreciente
(x=1/3, f(1/3))=(1/3, -23/27) es un máximo relativo

Estudiamos ahora el otro tramo de la función:
f’(x) = 0 ; -5/(x-2)² = 0 –> No es posible. No hay posibles extremos relativos
(1, +∞) f’(x) < 0 –> f(x) Decreciente

c) Solo puede haber asíntotas en el 2º tramo de la función, puesto que el primer tramo es un polinomio.

Asíntota horizontal: x-2=0; x=2

Asíntota vertical: y=Lim _x→+∞ f(x) = Lim _x→+∞ (x+3)/(x-2) = 1; y=1

d) Representación gráfica

Sea la función: f(x) = x² / ( x + 4 )
Determina: dominio, monotonía, asíntotas, tangente en el punto x=1, puntos de corte con los ejes y representa gráficamente.

Solución

Sea la siguiente función: f(x) = (x²+1) / ( x²-1 ). Determina:
a) Dominio
b) Monotonía de la función
c) Asíntotas
d) Puntos de corte con los ejes y representa gráficamente
e) Tangente de la gráfica en el punto x = 2

Solución

Sea la siguiente función: f(x) = 3x⁴+4x³-12x²+2. Determina: a) Dominio b) Monotonía de la función c) Representación gráfica d) Tangente de la gráfica en el punto x=-1

Solución

Sea la función f(x) = 2x³ + bx² + ax – 5
a) Hállense los valores de a y b de forma que f(x) tenga un máximo en x=1 y un mínimo en x=2.
b) Hállese el área de la región limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x=0 y x=3

Solución

a) Para que x=1 sea un máximo y x=2 sea un mínimo, la primera derivada de f(x) debe ser igual a “0″ en estos puntos.
f’(x)=6x² + 2·b·x + a
f’(x=1) = 6.1 + 2b + a = 0
f’(x=2) = 6·4 + 2·b·2 + a = 0
Tenemos 2 ecuaciones y 2 incógnitas:
6 + 2b + a = 0
24 + 4b + a = 0
Si resolvemos el sistema por cualquiera de los métodos que conocemos, por ejemplo sustitución:
a = -6 – 2b
24 + 4b – 6 – 2b = 0 → 18 + 2b = 0 → 2b = -18 → b = -18/2 → b = -9
a = -6 – 2b = -6 – 2·(-9) = -6 + 18 → a = 12

b) Para calcular el área, representamos la función. Encontramos los puntos de corte con el eje x:

Por Ruffini, llegamos a que x=1 es una raiz. Resolvemos la ecuación de 2º grado para encontrar el resto:

(2x³ -9x² + 12x – 5)/(x-1) = 2x²-7x+5
2x²-7x+5=0 → x = (7 ± (49-40)^1/2)/4 = (7 ± 3)/4 → x=1 y x=10/4 = 5/2

Hay dos tramos: Entre x=0 y x=5/2, la función queda por debajo del eje y por lo tanto el área será la integral definida cambiada de signo: A1=-∫₀^5/2f(x).dx = – (F(5/2) – F(0))

Entre 5/2 y 3, la función queda por encima del eje x y por lo tanto, el área coincide con la integral.

A2=∫_5/2³f(x).dx = F(3) – F(5/2)

A = A1 + A2

F(x)=∫(2x³ -9x² + 12x – 5)dx=2x⁴/4 -9x³/3+12x²/2 -5x = x⁴/2-3x³+6x²-5x
A = -(-75/32 – 0) + (51/2 -(-75/32)) = 75/32 + 51/2 + 75/32 = 75/16 + 51/2 = 483/16u²

Un club deportivo cuenta con un número de socios que viene dado ( en miles de personas ) por la función: S(x) = 2x³ – 15x² + 24x + 26, donde x indica el número de años desde la última remodelación.
a) Hállese el año en el que el club ha tenido el mayor número de socios
b) El 4º año se remodeló de nuevo. Indíquese razonadamente si esta remodelación tuvo éxito o no.

Solución:

a) Lo que nos están pidiendo es maximizar la función S(x).
Sabemos que para maximizar o minimizar debemos utilizar la primera derivada de la función e igualar a “0″.
S’(x) = 6x² – 30x + 24
S’(x) = 0 → 6x² – 30x + 24 = 0
Si simplificamos: x² – 5x + 4 = 0 –> x = (5 ± (25-24)^1/2)/2 = (5 ± 1)/2 →
x₁ = 6/2 = 3
x₂ = 4/2 = 2
Tenemos dos extremos relativos. Como lo que nos piden es maximizar, tenemos que ver cuál de los dos es máximo. Para ello utilizamos la 2ª derivada de la función.
S”(x) = 12x-30
S”(x=3) = 36-30=6>0 → x=3 es un mínimo
S”(x=2) = 24-30 = -6 <0 → x=2 es un máximo
Resultado: x=2 es un máximo → 2 años después de la primera remodelación se consiguió el máximo número de socios

b) Para saber si la segunda remodelación fue efectiva, tenemos que estudiar la función en torno a x=4. Para ello estudiamos la monotonía de la función, utilizando los datos del apartado anterior.
(-∞, 2) → S’(x) > 0 → CRECIENTE
(2,3) → S’(x) < 0 → DECRECIENTE
(3, ∞) → S’(x) > 0 → CRECIENTE → Como la función para x>4 es creciente, quiere decir que a partir del 4º año, el número de socios aumentó, luego la remodelación fue eficaz

Dada la función f(x) = x/(1-x²)
a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento
b) Calcular sus asíntotas
c) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x=0

Solución

a) Para estudiar la monotonía, hemos de trabajar con la 1ª derivada.
f´(x) = (1.(1-x²) – x(-2x))/(1-x²)² = (1 + x²)/(1-x²)²
Buscamos los ceros de f´(x) para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimie nto.
f´(x)=0 → (1 + x²)/(1-x²)²=0 –> (1 + x²)=0 → No hay valores de x que hagan cero la 1ª derivada
En los intervalos hemos de tener en cuenta también los puntos en que la función no está definida, es decir, que no pertenecen al dominio.
1-x² = 0 → x² = 1 → x = ±1
Los intervalos que tenemos que estudiar serán:
(-∞, -1) → f’(x) > 0 → f(x) es creciente
(-1, 1) → f’(x) > 0 → f(x) es creciente
(1, +∞) → f’(x) > 0 → f(x) es creciente
Solución: f(x) es creciente en todo su dominio

b) Asíntotas verticales:
Puntos que no pertenecen al dominio de f(x), donde la función se hace ±∞:
x=1, x=-1
Asíntotas horizontales:
valores de y a los que tiende f(x) cuadno x → ±∞
lim_(x→±∞) f(x) = 0
y=0
Asíntotas oblicuas:
puesto que tiene asíntotas horizontales, no tendrá asíntotas oblicuas

c) La recta tangente a la gráfica en x=0 será una recta de ecuación y = mx + b donde
m = f’(x=0) = 1
La recta debe pasar por el punto x=0, f(x=0)=0
0 = 1.0 + b → b=0
Recta tangente en x=0: y = x