Una madre y sus dos hijos tienen en conjunto 60 años; el hijo mayor tiene 3 veces la edad del menor y la madre tiene el doble de la suma de las edades de sus hijos. Calcula las edades de la madre y de los dos hijos.

Solución:

Tenemos 3 incógnitas:
x=edad de la madre
y= edad del hijo mayor
z= edad del hijo menor

Las condiciones que deben cumplir son las siguientes:
x + y + z = 60
y=3z
x = 2(x+y)

Resolvemos el sistema: Solución: x=40años, y=15años, z= 5años

Discutir y resolver, en los casos que sea posible, según los valores de m el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y + z = m+1
mx + y + (m-1)z = m
x + my + z = 1

Solución:

a) Discutir el sistema: para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché.

Sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz ampliada:
Si ran(A)=ran(A*)= 3 → S.C.D.
Si ran(A)=ran(A*)<3 → S.C.I.
Si ran(A)≠ran(A*) → S.I.

Para estudiar el rango de A, lo primero que haremos será calcular su determinante.
|A|=m-1 → |A|=0, m=1
√ m € R m≠1 → S.C.D.

Estudiamos qué pasa cuando m=1
En este caso ran(A)<3 puesto que |A|=0. Veamos si el rango puede ser 2. Busco un menor:
|1 1|
|1 0|=-1≠0 → ran(A)=2

Buscamos un menor de orden 3 distinto de 0, por ejemplo con la 2ª, 3ª y 4ª columna:

Puesto que hemos encontrado un menor de orden 3 distinto de 0, ran(A*)=3
Si m=1 ran(A)=2≠ran(A*)=3 → S.I.

b) Será resoluble para cualquier valor de m≠1, en cuyo caso será un S.C.D. que vamos a resolver por Cramer:

Solución: √ m€R, m≠1: x=|Ax|/|A|=(-m³+m²+2m-1)/(m-1); y=|Ay|/|A|=-m/(m-1); z=|Az|/|A|=(m³-m)/(m-1)=m(m+1)

Discute y resuelve, cuando sea posible, el siguiente sistema:
2x – 3y + kz = 3
x – 2y + 3z = k-1
(k-2)x -y + 4z = -1

Solución:

a) Discusión del sistema.
Discutiremos el sistema utilizando el método de Rouché, que dice lo siguiente:
Sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz ampliada, es decir, la matriz de coeficientes a la que se le ha añadido la columna de término independiente:

si rango(A)=rango(A*) → El sistema es compatible

Si además rango(A)=rango(A*)= nº de incógnitas → sistema compatible determinado

Si rango(A)=rango(A*) < nº incógnitas → sistema compatible indeterminado

Si rango(A)≠rango(A*) → sistema incompatible

|A|=2k²-14k+20=2(k-5)(k-2)

|A|=0 → k=5, k=2

√ k  R € R, k≠5, k≠2 →rango(A)=rango(A*)=3→ S.C.D.

Hemos de estudiar los casos particulares de k=5 y k=2 para ver cómo es el sistema

k=2

Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de 0:

|2 -3|
|1 -2| = -4 -3 = -7 ≠ 0 → rango(A)=2

Buscamos si el rango de A* es 3, trabajando con menores de orden 3:

Cogemos 2ª, 3ª y 4ª columna:

Probamos con los menores que se obtienen con las columnas 1, 2 y 4 y con las columnas 1,3 y 4 y vemos que todos los menores son 0 → rango(A*)=2

si k=2 rango(A)=rango(A*)=2→ S.C.I.

si k=5

Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de 0:

|2 -3|
|1 -2| = -4 -3 = -7 ≠ 0 → rango(A)=2

Buscamos si el rango de A* es 3, trabajando con menores de orden 3:

Cogemos 2ª, 3ª y 4ª columna:

→ rango(A*)=3≠rango(A)=2 → si k=5  S.I.

b) El sistema tendrá solución siempre que sea compatible.

Para k=2 hemos de resolver por parametrización pues se trata de un S.C.I.

Resolvemos por Gauss:

2x – 3y + 2z = 3
x – 2y + 3z = 1
-y + 4z = -1

2x – 3y + 2z = 3
y – 4z = 1
-y + 4z = -1

Si z=λ → y= 1 + 4λ, x=3+5λ

Solución: si k=2, √ λ€R: x=3+5λ, y=1 + 4λ, z=λ → ∞ soluciones

k≠2 y k≠5 → S.C.D.

Solución única para cada sistema. Resolvemos por Cramer.

x=lAxl/lAl;

y=lAyl/lAl;

z=lAzl/lAl

Solución: √ k≠2 y k≠5 cada sistema tendrá una única solución: x=(-k²+11k-18)/(2k²-14k+20)
y=(-k³+3k²+14k-32)/(2k²-14k+20)
z=(-3k²+17k-22)/(2k²-14k+20)

Una empresa instala casas prefabricadas de tres tipos A, B y C. Cada casa de tipo A necesita 10horas de albañilería, 2 de fontanería y 2 de electricista. Cada casa de tipo B necesita 15horas de albañilería, 4 de fontanería y 3 de electricista. Cada casa de tipo C necesita 20 horas de albañilería, 6 de fontanería y 5 de electricista. La empresa emplea exactamente 270 horas de trabajo al mes de albañilería, 68 de fontanería y 58 de electricista. ¿Cuántas casas de cada tipo instala la empresa en un mes?

Solución:

A: x
B: y
C: z

10x + 15y + 20z = 270
2x + 4y + 6z = 68
2x + 3y + 5z = 58

Solución: x=10, y=6, z=4

Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4% en un cierto producto A, un 6% en el producto B y un 5% en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10% sobre el precio inicial de B y un 6% sobre el precio inicial de C. Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos B y tres C, se ahorra 16€ respecto al precio inicial. Si compra tres productos A, uno B y cinco C en la segunda oferta, el ahorro es de 29€. Si compra un prodcuto A, uno B y uno C, ningún tipo de descuento, debe abonar 135€. Calcula el precio de cada producto antes de la oferta.

Solución:

A: x
B: y
C: z

(4/100)x + (6/100).2y + (5/100).3z =16
(8/100).3x + (10/100).y + (6/100).5z = 29
x+y+z=135

Solución: x=25€, y=50€, z=60€

Un hotel adquirió un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones, gastando para ello un total de 7500€. El precio de una almohada es de 16€, el de una manta de 50€ y el de un edredón, 80€. Además, el número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el de edredones. ¿Cuántas almohadas, mantas y edredones ha comprado el hotel?

Solución:

almohadas: x
mantas: y
edredones: z

x + y + z = 200
16x + 50y + 80z = 7500
x = y + z

Solución: x=100, y 70, z=30

Un agricultor tiene repartidas sus 10 hectáreas de terreno en barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hectáreas más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada. ¿Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuántas en barbecho?

Solución:

Barbecho: x
Trigo: y
Cebada: z

x+y+z=10
y-z=2
x=y+z-6

Solución: x=2, y=5, z=3

Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real k:

x + y + zk = 4

2x – y + 2z = 5

-x + 3y – z = 0

a) Discutir el sistema para los distintos valores de k

b) Resolver el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones

c) Resolver el sistema para k=0

Solución:

a) Si k≠1 → lAl≠0 → ran(A)=ran(A*)=3 → S.C.D.

Si k=1 → lAl=0 → ran(A)=ran(A*)=2 → S.C.I.

b) Para k=1 S.C.I. → hay que resolver parametrizando

Soluciones: para cualquier valor de a€R Soluciones: x=3-a, y=1, z=a

c) Para k=o S.C.D. Solución: x=3, y=1, z=0

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro k:

2x – 3y + z = 0

x – ky – 3z = 0

5x + 2y – z = 0

a) Discutir el sistema para los distintos valores de k

b) Resolver cuando sea posible

Solución:

a) Si k≠8 → lAl≠0 → ran(A)=ran(A*)=3 → S.C.D.

Si k=8 → lAl=0 → ran(A)=ran(A*)=2 → S.C.I.

b) El sistema siempre tiene solución. Además, es un sistema homogéneo, puesto que la matriz de término independiente es la matriz 0, por lo que cuando el sistema sea S.C.D. la solución será: x=0, y=0, z=0

√ k € R con k≠8; Solución: x=0, y=0, z=0

k=8 S.C.I. → hay que parametrizar:

√ a € R: Soluciones: x=a, y=7a, z=19a

Estudia y resuelve el siguiente sistema lineal de ecuaciones:

x+2y+z=0

-x-y=1

-y-z=-1

Solución

ran(A)=ran(A*)=2 –> S.C.I. –> Hay que resolver parametrizando.

Soluciones: Para cualquier valor de a € R: x=-1-a, y=a, z=1-a