Un producto se compone de la mezcla de otros dos A y B. Se tienen 500 Kg. de A y
500 Kg. de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1,5 veces el de
A. Para satisfacer la demanda, la producción debe ser mayor o igual que 600 Kg.
Sabiendo que cada kg de A cuesta 5 euros y que cada kg de B cuesta 4 euros,
calcular los kg de A y B que deben emplearse para hacer una mezcla de coste
mínimo, que cumpla los requisitos anteriores. Obtener dicho coste mínimo.

Solución

x ≤ 500;
y ≤ 500;
y ≤ 1,5x
x + y ≥ 600
x ≥ 0; y ≥ 0
Función Objetivo O(x, y) = 5x + 4y mínima
Solución: x=240, y=360

Una empresa instala casas prefabricadas de tres tipos A, B y C. Cada casa de tipo A necesita 10horas de albañilería, 2 de fontanería y 2 de electricista. Cada casa de tipo B necesita 15horas de albañilería, 4 de fontanería y 3 de electricista. Cada casa de tipo C necesita 20 horas de albañilería, 6 de fontanería y 5 de electricista. La empresa emplea exactamente 270 horas de trabajo al mes de albañilería, 68 de fontanería y 58 de electricista. ¿Cuántas casas de cada tipo instala la empresa en un mes?

Solución:

A: x
B: y
C: z

10x + 15y + 20z = 270
2x + 4y + 6z = 68
2x + 3y + 5z = 58

Solución: x=10, y=6, z=4

Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4% en un cierto producto A, un 6% en el producto B y un 5% en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10% sobre el precio inicial de B y un 6% sobre el precio inicial de C. Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos B y tres C, se ahorra 16€ respecto al precio inicial. Si compra tres productos A, uno B y cinco C en la segunda oferta, el ahorro es de 29€. Si compra un prodcuto A, uno B y uno C, ningún tipo de descuento, debe abonar 135€. Calcula el precio de cada producto antes de la oferta.

Solución:

A: x
B: y
C: z

(4/100)x + (6/100).2y + (5/100).3z =16
(8/100).3x + (10/100).y + (6/100).5z = 29
x+y+z=135

Solución: x=25€, y=50€, z=60€

Un hotel adquirió un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones, gastando para ello un total de 7500€. El precio de una almohada es de 16€, el de una manta de 50€ y el de un edredón, 80€. Además, el número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el de edredones. ¿Cuántas almohadas, mantas y edredones ha comprado el hotel?

Solución:

almohadas: x
mantas: y
edredones: z

x + y + z = 200
16x + 50y + 80z = 7500
x = y + z

Solución: x=100, y 70, z=30

Un agricultor tiene repartidas sus 10 hectáreas de terreno en barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hectáreas más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada. ¿Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuántas en barbecho?

Solución:

Barbecho: x
Trigo: y
Cebada: z

x+y+z=10
y-z=2
x=y+z-6

Solución: x=2, y=5, z=3

Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real k:

x + y + zk = 4

2x – y + 2z = 5

-x + 3y – z = 0

a) Discutir el sistema para los distintos valores de k

b) Resolver el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones

c) Resolver el sistema para k=0

Solución:

a) Si k≠1 → lAl≠0 → ran(A)=ran(A*)=3 → S.C.D.

Si k=1 → lAl=0 → ran(A)=ran(A*)=2 → S.C.I.

b) Para k=1 S.C.I. → hay que resolver parametrizando

Soluciones: para cualquier valor de a€R Soluciones: x=3-a, y=1, z=a

c) Para k=o S.C.D. Solución: x=3, y=1, z=0

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro k:

2x – 3y + z = 0

x – ky – 3z = 0

5x + 2y – z = 0

a) Discutir el sistema para los distintos valores de k

b) Resolver cuando sea posible

Solución:

a) Si k≠8 → lAl≠0 → ran(A)=ran(A*)=3 → S.C.D.

Si k=8 → lAl=0 → ran(A)=ran(A*)=2 → S.C.I.

b) El sistema siempre tiene solución. Además, es un sistema homogéneo, puesto que la matriz de término independiente es la matriz 0, por lo que cuando el sistema sea S.C.D. la solución será: x=0, y=0, z=0

√ k € R con k≠8; Solución: x=0, y=0, z=0

k=8 S.C.I. → hay que parametrizar:

√ a € R: Soluciones: x=a, y=7a, z=19a

Estudia y resuelve el siguiente sistema lineal de ecuaciones:

x+2y+z=0

-x-y=1

-y-z=-1

Solución

ran(A)=ran(A*)=2 –> S.C.I. –> Hay que resolver parametrizando.

Soluciones: Para cualquier valor de a € R: x=-1-a, y=a, z=1-a

Considera el sistema de ecuaciones lineales dependientes del parámetro real a:
ax + y + z = 1
x + ay + z = a
x + ay + az = a²

a) Discute el sistema según los valores de a
b) Resuleve el sistema para a=-1

Solución

a) Para cualquier valor de a≠1 y a≠-2 –> lAl≠0 –> S.C.D.

Para a=1 –> ran(A) = ran(A*)=2 –> S.C.I.

Para a=-2 –> ran(A)≠ran(A*) –> S.I.

b) a=-1 –> S.C.D. Solución: x=0, y=1, z=0

Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependientes del parámetro a:
x – 2y + z = 0
3x + ay – 2z = 3
2x + 2y + az = 8
a) Discutir el sistema para los distintos valores de a
b) Resuelve el sistema para a=4

Solución

b) Para a=4 S.C.D. → Solución única: x=1, y=1, z=1