Solución:

Se trata de un problema de programación lineal. La función objetivo, es decir, la función a maximizar serán los ingresos. Si suponemos que vendemos x paquetes de tipo A e y paquetes de tipo B; O(x,y)=15000x + 9000y

Esta función objetivo está sometida a una serie de restricciones:

y ≤ x ( el número de paquetes de tipo B no debe superar a los de A )
2x + y ≤ 30 ( se dispone de un máximo de 30 plazas de autobús )
x + y ≤ 20 ( se dispone de un máximo de 20 habitaciones dobles )
4x + 2y ≤ 56 ( se dispone de un máximo de 56 comidas )
x ≥ 0; y ≥ 0

Representamos la región de restricciones:

La mejor solución, según nos dice la programación lineal será uno de los puntos de la región acotada de soluciones, es decir de la región de puntos que verifica todas las restricciones al mismo tiempo.

Uno de los puntos es decimal, así es que aproximaremos al menor entero que está dentro de la región de restricciones, que será: (28/3, 28/3) → (9,9)

Sustituimos en la función objetivo para ver cuál es la mejor solución:

O(9,9) = 15000.9 + 9000.9 = 216000pts
O(14,0)=15000.14=210000pts
O(0,0)=0pts

Solución: debemos vender 9 paquetes de tipo A y 9 paquetes de tipo B para maximizar el beneficio que será de 216000pts

Solución:

Tenemos 3 incógnitas:
x=edad de la madre
y= edad del hijo mayor
z= edad del hijo menor

Las condiciones que deben cumplir son las siguientes:
x + y + z = 60
y=3z
x = 2(x+y)

Resolvemos el sistema: Solución: x=40años, y=15años, z= 5años

Solución:

a) Discutir el sistema: para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché.

Sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz ampliada:
Si ran(A)=ran(A*)= 3 → S.C.D.
Si ran(A)=ran(A*)<3 → S.C.I.
Si ran(A)≠ran(A*) → S.I.

Para estudiar el rango de A, lo primero que haremos será calcular su determinante.
|A|=m-1 → |A|=0, m=1
√ m € R m≠1 → S.C.D.

Estudiamos qué pasa cuando m=1
En este caso ran(A)<3 puesto que |A|=0. Veamos si el rango puede ser 2. Busco un menor:
|1 1|
|1 0|=-1≠0 → ran(A)=2

Buscamos un menor de orden 3 distinto de 0, por ejemplo con la 2ª, 3ª y 4ª columna:

Puesto que hemos encontrado un menor de orden 3 distinto de 0, ran(A*)=3
Si m=1 ran(A)=2≠ran(A*)=3 → S.I.

b) Será resoluble para cualquier valor de m≠1, en cuyo caso será un S.C.D. que vamos a resolver por Cramer:

Solución: √ m€R, m≠1: x=|Ax|/|A|=(-m³+m²+2m-1)/(m-1); y=|Ay|/|A|=-m/(m-1); z=|Az|/|A|=(m³-m)/(m-1)=m(m+1)

b) Calcula B³⁶

Solución:

a) Para ver si una matriz tiene inversa, lo único que tenemos que hacer es calcular su determinante. Si |A| ≠0 → A tiene inversa.

|A|=t²-4t+3
|A|=0 → t²-4t+3=0; t=3 y t=1
Para t=3, t=1 A no tiene inversa

Para calcular la matriz inversa para t=2 podemos utilizar el método de Gauss o A^-1=(adjA)^T/|A|

b) Para calcular B³⁶, utilizamos el método de inducción. Calculamos B¹, B², B³… y tratamos de ver si existe alguna relación entre los valores de la potencia de B y los elementos de la matriz. Así, podemos ver que:

Solución:

a) Discusión del sistema.
Discutiremos el sistema utilizando el método de Rouché, que dice lo siguiente:
Sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz ampliada, es decir, la matriz de coeficientes a la que se le ha añadido la columna de término independiente:

si rango(A)=rango(A*) → El sistema es compatible

Si además rango(A)=rango(A*)= nº de incógnitas → sistema compatible determinado

Si rango(A)=rango(A*) < nº incógnitas → sistema compatible indeterminado

Si rango(A)≠rango(A*) → sistema incompatible

|A|=2k²-14k+20=2(k-5)(k-2)

|A|=0 → k=5, k=2

√ k  R € R, k≠5, k≠2 →rango(A)=rango(A*)=3→ S.C.D.

Hemos de estudiar los casos particulares de k=5 y k=2 para ver cómo es el sistema

k=2

Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de 0:

|2 -3|
|1 -2| = -4 -3 = -7 ≠ 0 → rango(A)=2

Buscamos si el rango de A* es 3, trabajando con menores de orden 3:

Cogemos 2ª, 3ª y 4ª columna:

Probamos con los menores que se obtienen con las columnas 1, 2 y 4 y con las columnas 1,3 y 4 y vemos que todos los menores son 0 → rango(A*)=2

si k=2 rango(A)=rango(A*)=2→ S.C.I.

si k=5

Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de 0:

|2 -3|
|1 -2| = -4 -3 = -7 ≠ 0 → rango(A)=2

Buscamos si el rango de A* es 3, trabajando con menores de orden 3:

Cogemos 2ª, 3ª y 4ª columna:

→ rango(A*)=3≠rango(A)=2 → si k=5  S.I.

b) El sistema tendrá solución siempre que sea compatible.

Para k=2 hemos de resolver por parametrización pues se trata de un S.C.I.

Resolvemos por Gauss:

2x – 3y + 2z = 3
x – 2y + 3z = 1
-y + 4z = -1

2x – 3y + 2z = 3
y – 4z = 1
-y + 4z = -1

Si z=λ → y= 1 + 4λ, x=3+5λ

Solución: si k=2, √ λ€R: x=3+5λ, y=1 + 4λ, z=λ → ∞ soluciones

k≠2 y k≠5 → S.C.D.

Solución única para cada sistema. Resolvemos por Cramer.

x=lAxl/lAl;

y=lAyl/lAl;

z=lAzl/lAl

Solución: √ k≠2 y k≠5 cada sistema tendrá una única solución: x=(-k²+11k-18)/(2k²-14k+20)
y=(-k³+3k²+14k-32)/(2k²-14k+20)
z=(-3k²+17k-22)/(2k²-14k+20)

Solución

El beneficio máximo es de 17000€ cuando se fabrican 600m de tipo A y 800m de tipo B

Solución

O(x, y) = 20x + 30y mínimo.
Restricciones:
x ≥ 10
y ≥ 20
y ≥ x
x + y ≥ 50
x + y ≤ 200
Punto solución: x=25, y=25

Solución

Maximizar O(x, y) = 2000x + 3000y
x + y ≤ 4
2x + 3y ≤ 10
400x + 200y ≤ 1200
x≥0; y≥0
Punto solución: x=2, y=2