Una agencia de viajes vende paquetes turísticos para acudir a la final de un campeonato de fútbol. La agencia está considerando ofrecer dos tipos de viajes: el 1º de ellos (A) incluye desplazamiento en autocar para dos personas, una noche de alojamiento en habitación doble y cuatro comidas. El 2º (B) incluye desplazamiento en autocar para una persona, una noche de alojamiento en habitación también doble y dos comidas.   El precio de venta del paquete A es de 15000pts y el del paquete B 9000pts. La agencia tiene contratadas un máximo de 30 plazas de autobús, 20 habitaciones dobles y 56 comidas. El número de paquetes del tipo B no debe superar a los de tipo A. La empresa desea maximizar sus ingresos. Se pide determinar cuántos paquetes de cada tipo debe vender la agencia para maximizar sus ingresos y calcular dichos ingresos.

Solución:

Se trata de un problema de programación lineal. La función objetivo, es decir, la función a maximizar serán los ingresos. Si suponemos que vendemos x paquetes de tipo A e y paquetes de tipo B; O(x,y)=15000x + 9000y

Esta función objetivo está sometida a una serie de restricciones:

y ≤ x ( el número de paquetes de tipo B no debe superar a los de A )
2x + y ≤ 30 ( se dispone de un máximo de 30 plazas de autobús )
x + y ≤ 20 ( se dispone de un máximo de 20 habitaciones dobles )
4x + 2y ≤ 56 ( se dispone de un máximo de 56 comidas )
x ≥ 0; y ≥ 0

Representamos la región de restricciones:

La mejor solución, según nos dice la programación lineal será uno de los puntos de la región acotada de soluciones, es decir de la región de puntos que verifica todas las restricciones al mismo tiempo.

Uno de los puntos es decimal, así es que aproximaremos al menor entero que está dentro de la región de restricciones, que será: (28/3, 28/3) → (9,9)

Sustituimos en la función objetivo para ver cuál es la mejor solución:

O(9,9) = 15000.9 + 9000.9 = 216000pts
O(14,0)=15000.14=210000pts
O(0,0)=0pts

Solución: debemos vender 9 paquetes de tipo A y 9 paquetes de tipo B para maximizar el beneficio que será de 216000pts

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Una madre y sus dos hijos tienen en conjunto 60 años; el hijo mayor tiene 3 veces la edad del menor y la madre tiene el doble de la suma de las edades de sus hijos. Calcula las edades de la madre y de los dos hijos.

Solución:

Tenemos 3 incógnitas:
x=edad de la madre
y= edad del hijo mayor
z= edad del hijo menor

Las condiciones que deben cumplir son las siguientes:
x + y + z = 60
y=3z
x = 2(x+y)

Resolvemos el sistema: Solución: x=40años, y=15años, z= 5años

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Discutir y resolver, en los casos que sea posible, según los valores de m el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y + z = m+1
mx + y + (m-1)z = m
x + my + z = 1

Solución:

a) Discutir el sistema: para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché.

Sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz ampliada:
Si ran(A)=ran(A*)= 3 → S.C.D.
Si ran(A)=ran(A*)<3 → S.C.I.
Si ran(A)≠ran(A*) → S.I.

Para estudiar el rango de A, lo primero que haremos será calcular su determinante.
|A|=m-1 → |A|=0, m=1
√ m € R m≠1 → S.C.D.

Estudiamos qué pasa cuando m=1
En este caso ran(A)<3 puesto que |A|=0. Veamos si el rango puede ser 2. Busco un menor:
|1 1|
|1 0|=-1≠0 → ran(A)=2

Buscamos un menor de orden 3 distinto de 0, por ejemplo con la 2ª, 3ª y 4ª columna:

Puesto que hemos encontrado un menor de orden 3 distinto de 0, ran(A*)=3
Si m=1 ran(A)=2≠ran(A*)=3 → S.I.

b) Será resoluble para cualquier valor de m≠1, en cuyo caso será un S.C.D. que vamos a resolver por Cramer:

Solución: √ m€R, m≠1: x=|Ax|/|A|=(-m³+m²+2m-1)/(m-1); y=|Ay|/|A|=-m/(m-1); z=|Az|/|A|=(m³-m)/(m-1)=m(m+1)

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a) Averigua para qué valores del parámetro t, la matriz A no tiene inversa. Calcula la matriz inversa de A para t=2

b) Calcula B³⁶

Solución:

a) Para ver si una matriz tiene inversa, lo único que tenemos que hacer es calcular su determinante. Si |A| ≠0 → A tiene inversa.

|A|=t²-4t+3
|A|=0 → t²-4t+3=0; t=3 y t=1
Para t=3, t=1 A no tiene inversa

Para calcular la matriz inversa para t=2 podemos utilizar el método de Gauss o A^-1=(adjA)^T/|A|

b) Para calcular B³⁶, utilizamos el método de inducción. Calculamos B¹, B², B³… y tratamos de ver si existe alguna relación entre los valores de la potencia de B y los elementos de la matriz. Así, podemos ver que:

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Discute y resuelve, cuando sea posible, el siguiente sistema:
2x – 3y + kz = 3
x – 2y + 3z = k-1
(k-2)x -y + 4z = -1

Solución:

a) Discusión del sistema.
Discutiremos el sistema utilizando el método de Rouché, que dice lo siguiente:
Sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz ampliada, es decir, la matriz de coeficientes a la que se le ha añadido la columna de término independiente:

si rango(A)=rango(A*) → El sistema es compatible

Si además rango(A)=rango(A*)= nº de incógnitas → sistema compatible determinado

Si rango(A)=rango(A*) < nº incógnitas → sistema compatible indeterminado

Si rango(A)≠rango(A*) → sistema incompatible

|A|=2k²-14k+20=2(k-5)(k-2)

|A|=0 → k=5, k=2

√ k  R € R, k≠5, k≠2 →rango(A)=rango(A*)=3→ S.C.D.

Hemos de estudiar los casos particulares de k=5 y k=2 para ver cómo es el sistema

k=2

Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de 0:

|2 -3|
|1 -2| = -4 -3 = -7 ≠ 0 → rango(A)=2

Buscamos si el rango de A* es 3, trabajando con menores de orden 3:

Cogemos 2ª, 3ª y 4ª columna:

Probamos con los menores que se obtienen con las columnas 1, 2 y 4 y con las columnas 1,3 y 4 y vemos que todos los menores son 0 → rango(A*)=2

si k=2 rango(A)=rango(A*)=2→ S.C.I.

si k=5

Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de 0:

|2 -3|
|1 -2| = -4 -3 = -7 ≠ 0 → rango(A)=2

Buscamos si el rango de A* es 3, trabajando con menores de orden 3:

Cogemos 2ª, 3ª y 4ª columna:

→ rango(A*)=3≠rango(A)=2 → si k=5  S.I.

b) El sistema tendrá solución siempre que sea compatible.

Para k=2 hemos de resolver por parametrización pues se trata de un S.C.I.

Resolvemos por Gauss:

2x – 3y + 2z = 3
x – 2y + 3z = 1
-y + 4z = -1

2x – 3y + 2z = 3
y – 4z = 1
-y + 4z = -1

Si z=λ → y= 1 + 4λ, x=3+5λ

Solución: si k=2, √ λ€R: x=3+5λ, y=1 + 4λ, z=λ → ∞ soluciones

k≠2 y k≠5 → S.C.D.

Solución única para cada sistema. Resolvemos por Cramer.

x=lAxl/lAl;

y=lAyl/lAl;

z=lAzl/lAl

Solución: √ k≠2 y k≠5 cada sistema tendrá una única solución: x=(-k²+11k-18)/(2k²-14k+20)
y=(-k³+3k²+14k-32)/(2k²-14k+20)
z=(-3k²+17k-22)/(2k²-14k+20)

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Un hipermercado quiere ofertar dos clases de bandejas A y B. La bandeja A contiene 40g de queso manchego, 160g de roquefort y 80g de camembert; la bandeja B contiene 120g de cada uno de los 3 tipos de quesos anteriores. Para confeccionarlos dispone de 10.4kg de queso manchego, 17.6kg de reoquefort y 11.2kg de camembert. El precio de venta es de 580pts la bandeja A y 732 la bandeja B. El hipermercado desea maximizar los ingresos.
a) Expresa la función objetivo
b) Escribe, mediante inecuaciones, las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.
c) Determina el número de bandejas de cada clase que debe vender para que los ingresos obtenidos sean máximos. Calcula dichos ingresos.

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Una empresa de instalaciones dispone de 195kg de cobre, 20kg de titanio y 14kg de aluminio. Para fabricar 100m de cable de tipo A se necesitan 10kg de cobre, 2 de titanio y 1 de aluminio, mientras que para fabricar 100 metros de cable de tipo B se necesitan 15kg de cobre, 1 de titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por 100 metros de cable de tipo A es de 1500€ y por 100 metros de cable de tipo B, 1000€.
Calcular los metros de cable de cada tipo que hay que fabricar para maximizar el beneficio de la empresa. obtener dicho beneficio máximo.

Solución

El beneficio máximo es de 17000€ cuando se fabrican 600m de tipo A y 800m de tipo B

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Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden el aceite a 2000 y 3000 € por tonelada, respectivamente. Cada almazara le vende un mínimo de 2 toneladas y un máximo de 7 toneladas para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar en total un mínimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar como máximo a la almazara A el doble de aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe comprar el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo coste? Determina dicho coste mínimo.

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En un depósito se almacenan bidones de petróleo y de gasolina. Para poder atender la demanda se han de tener almacenados un mínimo de 10 bidones de petróleo y 20 de gasolina. Siempre debe haber más bidones de gasolina que de petróleo, siendo la capacidad del depósito de 200 bidones. Por razones comerciales, deben mantenerse en inventario, al menos 50 bidones. El gasto de almacenaje de un bidón de petróleo es de 20pts y el de uno de gasolina es de 30pts. Se desea saber cuántos bidones de cada clase han de almacenarse para que el gasto de almacenaje sea mínimo.
a) Expresa la función objetivo y las restricciones del problema
b) Representa gráficamente la región factible y calcula los vértices de la misma
c) Resuelve el problema

Solución

O(x, y) = 20x + 30y mínimo.
Restricciones:
x ≥ 10
y ≥ 20
y ≥ x
x + y ≥ 50
x + y ≤ 200
Punto solución: x=25, y=25

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Una empresa especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas, produce cierto tipo de mesas y sillas que vende a 2000pts y 3000pts por unidad, respectivamente. Desea saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente un operario para maximizar los ingresos, teniéndose las siguientes restricciones:
El número total de unidades de los dos tipos no podrá exceder de 4 por día y operario.
Cada mesa requiere 2 horas pas su fabricación; cada silla, 3 horas.
La jornada laboral máxima es de 10horas.
El material utilizado en cada mesa cuesta 400pts. El utilizado en cada silla cuesta 200pts.
Cada operario dispone de 1200pts diarias para material.
a) Expresa la función objetivo y las restricciones del problema.
b) Representa gráficamente la región factible y calcula los vértices de la misma
c) Razona si con estas restricciones un operario puede fabricar diariamente una mesa y una silla y si esto le conviene a la empresa
d) Resuelve el problema

Solución

Maximizar O(x, y) = 2000x + 3000y
x + y ≤ 4
2x + 3y ≤ 10
400x + 200y ≤ 1200
x≥0; y≥0
Punto solución: x=2, y=2

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