Se considera la función real de variable real definida por: f(x) = (x²-1)²

a) Determina los extremos relativos de f(x).
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x=3.
c) Calcula el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f(x) y el eje OX.

Solución:

a) Para estudiar los extremos relativos ( máximos y minímos ) debemos calcular la derivada de la función:
f’(x)=2.(x²-1).2x= 4x.(x²-1)
Calculamos los ceros de la derivada:
f’(x)=0; 4x.(x²-1)=0; x=0 y x²-1=0; x=0, x=1, x=-1

Tenemos 3 posibles extremos relativos. Para ver si son máximos o mínimos podemos hacer 2 cosas:
* estudiar el signo de f’(x) en torno a esos puntos
* estudiar el signo de f”(x)

En este caso lo haremos del 2º modo:
f”(x)=12x²-4
f”(x=0)=-4 < 0 –> x=0 es un máximo
f”(x=-1)=8 >0 –> x=-1 es un mínimo
f”(x=1)=8 >0 –> x=1 es un mínimo

f(o)=1; (0,1) ES UN MÁXIMO
f(-1)=0; (-1,0) ES UN MÍNIMO
f(1)=0; (1,0) ES UN MÍNIMO

b) La ecuación de la recta tangente es: y=mx+n
La recta tangente debe cumplir 2 condiciones:
* La tangente de la recta y de f(x) en dicho punto x=3 debe ser la misma:
m=f’(x=3); m=4.3(9-1)=96

* La recta tangente debe pasar por el punto (x=3,f(x=3)): (3, 64)
64=96.3-n –> n=-224

La ecuación de la recta tangente será: y=96x-224

c) Representamos la función para ver el recinto al que hace referencia:

El área que nos piden será la que queda encerrada entre x=-1 y x=1

A=∫_-1¹ (x²-1)² dx= F(1) – F(-1)
Para hacer la integral de manera mas sencilla, desarrollamos el cuadrado, para que nos quede un polinomio:
(x²-1)² =x⁴-2x²+1
F(x) = ∫(x⁴-2x²+1)dx=x⁵/5-2x³/3-x
F(1)=1/5 -2/3 -1
F(-1)= 1/5 + 2/3 +1

A=F(1) – F(-1) = 16/15 u²

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Se considera la curva de ecuación y = x³ – 4x
a) Hallar las coordenadas de sus puntos de intersección con los ejes coordenados y de sus máximos y mínimos relativos, si existen
b) Representar gráficamente la curva
c) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la curva y el eje OX

Solución

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Hállense las rectas tangentes a la curva f(x) = x³ – 3x² + 8 que sean paralelas a la recta y = 9x + 4

Solución

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Se supone que el tiempo de una conversación en un teléfono móvil se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 1,32 minutos. Se desea estimar la media del tiempo de las conversaciones mantenidas con un error inferior o igual en valor absoluto a 0,5 minutos y con un grado de confianza del 95%.

1. Calcúlese el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar para llevar a cabo dicha estimación mediante la media muestral.
2. Si se supone que la media del tiempo de las conversaciones es de 4,36 minutos y se elige una muestra aleatoria simple de 16 usuarios, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de las conversaciones de la muestra esté comprendido entre 4 y 5 minutos?

Solución:

1.- Nos piden el tamaño mínimo que deben tener las muestras para que el error en las medias muestrales difiera menos del 5% con un nivel de confianza del 95%.

El error tiene el siguiente comportamiento: ε = σ.Z/√n

siendo σ la desviación típica de la población: 1,32 minutos

Z: p(z≤Z)=0,95 + 0,05/2 = 0,975 → Z = 1,96

n: tamaño mínimo de la muestra

0,5 < 1,32.1,96/√n → n > (1,32.1,96/0,5)²=26,8 → n=27

2.- La distribución normal que siguen las medias muestrales de tamaño n=16 será: N(4,36 , 1,32/√16) = N(4,36 , 0,33)

Nos piden calcular la siguiente probabilidad: p(4≤x≤5) = p(x≤5) – p(x≤4)

Para poder utilizar la tabla de N(0,1), tendremos que tipificar:

z1=(5-4,36)/0,33 = 1,94

z2=(4-4,36)/0,33 = -1,09

p(4≤x≤5) = p(x≤5) – p(x≤4) = p(z≤1,94) – p(z≤-1,09)

p(z≤1,94) = 0,9738

p(z≤-1,09) = p(z ≥ 1,09) = 1 – p(z≤1,09) =  1 – 0,8508

p(4≤x≤5) = p(x≤5) – p(x≤4) = p(z≤1,94) – p(z≤-1,09) = 0,9738 – (1 – 0,8508) = 0,8246 = 82,46%

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En un cierto banco el 30% de los créditos concedidos son para vivienda, el 50% se destinan a empresas y el 20% son para consumo. Se sabe además que de los créditos concedidos a vivienda, el 10% resultan impagados, de los concedidos a empresas son impagados el 20% y de los concedidos para consumo resultan impagados el 10%.

1. Calcúlese la probabilidad de que un crédito elegido al azar sea pagado
2. ¿Cúal es la probabilidad de que un crédito elegido al azar se haya destinado a consumo sabiendo que se ha pagado?

Solución

Este es un ejercicio típico de selectividad.

Lo primero de todo, será plantear el árbol de probabilidad

1.- Aplicaremos el teorema de la probabilidad completa para obtener los créditos pagados:

p(P) = p(V∩P) + p(E∩P) + p(C∩P)= p(V).p(P/V) + p(E).p(P/E) + p(C).p(P/C) = 0,3.0,9 + 0,5.0,8 + 0,2.0,9 = 0,85 = 85%

2.- Aplicaremos el teorema de Bayes, o de la probabilidad a posteriori.

p(C/P) = p(C∩P) / p(P) = 0,2.0,9 / 0,85 = 0,2118 = 21,18%

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El peso de los perros adultos de una cierta raza es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con desviación típica de 0,6kg. Una muestra aleatoria de 30 animales ha dado un peso medio de 7,4kg.
a) Calcula un intervalo de confianza al 99% para el peso medio de los perros adultos de esta raza.
b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para tener una confianza del 95% de que la media muestral no se diferencie más de 0,3kg de la media de la población.

Solución:

a) Intervalo de Confianza ( 7.12 , 7.68 )
b) Tamaño mínimo de la muestra: n=16

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Una variable aleatoria X tiene una distribución normal siendo su desviación típica igual a 3.
a) Si se consideran muestras de tamaño 16, ¿qué distribución sigue la variable aleatoria media muestral?
b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en más de 1 unidad de la media de la población, con probabilidad de 0,99; ¿cuántos elementos, como mínimo, deberían tomar en la muestra?

Solución:

a) población: N(µ,3) –> muestra: N(µ,3/√16)
b) n=60

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La duración de las baterías de un determinado modelo de teléfono móvil tiene una distribución normal de media 34,5 horas y de desviación típica 6,9 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de 36 teléfonos móviles:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías de la muestra esté comprendida entre 32 y 32,5 horas?
b) ¿Y de que sea mayor de 38 horas?

Solución

a) Si la población sigue una distribución N(34.5 , 6.9), una muestra de tamaño n=36, seguirá una distribución N(34.5 , 6.9/√36) = N(34.5 , 1.15)

p(32≤x≤33.5) = p(x≤33.5) – p(x≤32) → tipificando → p(32≤x≤33.5) = p(z≤z₁) – p(z≤z₂)
z₁=(33.5-34.5)/1.15 = -0,87
z₂=(32-34.5)/1.15 = -2,17
p(z≤-0,87) = p(z>0,87) = 1 – p(z≤0,87) = 1 – 0,8078 = 0,1922
p(z≤-2,17) = p(z>2,17) = 1- p(z≤2,17) = 1 – 0,9850 = 0,015

b) p(x>38) = 1 – p(x≤38)
Si tipificamos: p(x≤38)=p(z≤((38-34.5)/1.15)) = p(z≤3,04) = 0,9988

Resulta una probabibilidad prácticamente nula.

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Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos sigue una distribución normal con media 100 meses y desviación típica 12 meses. Determina el mínimo tamaño muestral que garantiza, con una probabilidad de 0.98, que la vida media de los electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses.

Solución

Si la vida media debe encontrarse entre 90 y 110 meses, es porque ε < 10.
ε = Z_k.σ / √n → Z_k.12/√n < 10
Como P(z≤Z_k) = 0.98 + 0.01 = 0.99 → z_K = 2.33
2.33 · 12 / √n < 10  → √n > 2,33.12/10 → n > (2,33.12/10)² → n > 7,82 → n=8

Solución: El tamaño mínimo que debe tener la muestra para que la vida media se encuentre entre 90 y 110 con probabilidad del 98% es de n=8

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Se desea estudiar el gasto semanal de fotocopias, en pesetas, de los estudiantes de bachillerato de Madrid. Para ello, se ha elegido una muestra aleatoria de 9 de estos estudiantes, resultando los valores siguientes para esos gastos:
100  150  90  70  75  105  200  120  80
Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio, sigue una distribución normal de media desconocida y de desviación típica igual a 12. Determínese un intervalo de confianza al 95% para la media del gasto semanal en fotocopias por estudiante.

Solución

La población sigue una distribución normal N(µ,12)

La muestra, seguirá una distribución normal N(µ,12/√9) = N(µ,4)

Como no nos dan la media de la población, calulamos la media de la muestra a partir de los propios datos de la muestra:
media de la muestra = Σx_i/n =(100+150+90+70+75+105+200+120+80)/9=110
La muestra sigue una distribución: N(110,4).

Si el nivel de confianza tiene que ser del 95%, mi intervalo de confianza será: (µ-k, µ+k)
k=Z_k.σ/√n = Z_k.12/ √9
Como: P(x ≤ µ+k) = P( z ≤ Z_k ) = 0,975 –> Z_k = 1,96 –> k = 1,96.12/3 = 7,84
Luego, mi intervalo de confianza será: ( 110-7,84 , 110+7,84 )

Solución: La probabilidad de que al escoger un trabajador al azar su gasto semanal en fotocopias esté comprendido entre ( 102.16 , 117.84 ) es del 95%

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