1º paso: Quitamos la x de (2) y de (3)
(1) – (2) → -3y + 4z = 1
(1) – (3) → -2y + z = -1
El sistema queda:
x – y + 3z = 3
-3y + 4z = 1
-2y + z = -1
2º paso: Quitamos la z de (3)
(2) – 4(3) → 5y=5
El sistema queda:
x – y + 3z = 3
-3y + 4z = 1
5y=5
Ya hemos triangulado el sistema. Ahora empezamos a resolver de la última a la 1ª
5y=5 → y=5/5; y=1
-3y+4z=1 → -3.1+4z=1 → -3+4z=1 → 4z=4 → z=1
x-y+3z=3 → x-1+3.1=3 → x+2=3 → x=1
La solución es única, luego se trata de un Sistema Compatible Determinado

Para resolver un sistema de inecuaciones lineales gráficamente, hemos de resolver cada una de las inecuaciones lineales.
1ª enecuación
Para resolver una inecuación lineal hemos de dibujar la recta.
x – y + 1 ≤ 0 → La recta será: x – y + 1=0 → y=x+1
Esta recta tiene de pendiente m=1 y de ordenada en el origen n=1
Para representar una recta, necesitamos 2 puntos cualquiera:
x=0 → y=0+1=1 → punto (0,1)
y=0 → 0=x+1 → x=-1 → punto (-1,0)
Cuando representamos la recta el plano XY queda dividido en 2 zonas. Sólo una de las 2 zonas verifica la inecuación. Para saber qué zona es, cogemos un punto de una de las dos zonas y vemos si el punto verifica la desigualdad. Si este punto verifica la desigualda todos los puntos que quedan del mismo lado que él verificarán la desigualdad; si no, serán los del otro lado.
Si el signo de la desigualdad es ≤ o ≥ la recta también estará incluida en la solución.
Tomamos el punto (0,0) → x – y + 1 ≤ 0 → 0 – 0 + 1 ≤ 0 → 1 ≤ 0 → FALSO: la solución estará constituida por los puntos de la recta y los que quedan del otro lado que (0,0)
2ª inecuación
Para resolver una inecuación lineal hemos de dibujar la recta.
2x + 2y – 4 > 2 → La recta será: 2x + 2y – 4 = 2 → 2x + 2y = 6 → x + y = 3 → y = 3 – x
Esta recta tiene de pendiente m=-1 y de ordenada en el origen n=3
Para representar una recta, necesitamos 2 puntos cualquiera:
x=0 → y=3-0=3 → punto (0,3)
y=0 → 0=3-x → x=3 → punto (3,0)
Cuando representamos la recta el plano XY queda dividido en 2 zonas. Sólo una de las 2 zonas verifica la inecuación. Para saber qué zona es, cogemos un punto de una de las dos zonas y vemos si el punto verifica la desigualdad. Si este punto verifica la desigualda todos los puntos que quedan del mismo lado que él verificarán la desigualdad; si no, serán los del otro lado.
Si el signo de la desigualdad es ≤ o ≥ la recta también estará incluida en la solución. En este caso la recta no estará incluida.
Tomamos el punto (0,0) → 2x + 2y – 4 > 2 → 2.0 + 2.0 – 4 > 2 → -4 > 2 → FALSO: la solución estará constituida por los puntos que quedan del otro lado que (0,0)

Una vez resueltas las dos inecuaciones, la solución serán los puntos que son a la vez solución de las dos inecuaciones:

a) Se trata de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas. La solución será una pareja de valores x e y.
Podemos resolverlo bien por el método de sustitución, bien por el método de reducción. En este caso, vamos a hacerlo por los dos métodos. Comprobaremos que independientemente del método seleccionado, el resultado tiene que ser el mismo.
método de sustitución
3x+4y = -5
2x-y = 4 → Despejamos y → y = 2x – 4 → Sustituimos y en la 1ª ecuación
3x + 4(2x-4) = -5 → 3x + 8x – 16 = -5 → 11x -16 = -5 → 11x=-5+16 → 11x = 11 → x=11/11 → x=1
Sustituimos el valor de x en la expresión de y:
y = 2x – 4; y=2.1 – 4; y=2-4; y=-2

método de reducción
3x+4y = -5
2x-y = 4
Para resolver vamos a eliminar la y. Para ello haremos (1ª ecuación) + 4.(2ª ecuación)
3x+4y=-5
8x-4y=16 → (1) + 4(2): 11x=11; x=11/11; x=1
Sustituimos en la 1ª ecuación para obtener el valor de y: 3.1+4y=-5; 3+4y=-5
4y=-5-3; 4y=-8; y=-8/4; y=-2

Independientemente del método utilizado, la solución es la misma.

b) Se trata de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. La solución será una terna de valores x,y,z.
Para resolver, utilizaremos el método de Gauss que consiste en realizar operaciones con las ecuaciones de modo que obtengamos un sistema equivalente con una ecuación con 3 incógnitas, una ecuación con 2 incógnitas y una ecuación con 1 incógnita.
x+y-z=0
x-y+z=2
2x+y-4z=-8
1º paso: fijamos la primera ecuación y trabajando con (1) y (2) y con (1) y (3) quitaremos la misma incógnita de las ecuaciones (2) y (3).
Vamos a quitar la x →
(1)-(2) → 2y-2z=-2
2(1)-(3) → y+2z=8

El sistema queda como:
x+y-z=0
2y-2z=-2
y+2z=8
2ºpaso: fijamos la 1ª y la 2ª ecuación y trabajamos con (2) y con (3) para quitar una incógnita. Vamos a quitar la z:
(2)+(3) → 3y=6

El sistema queda:
x+y-z=0
2y-2z=-2
3y=6
Una vez que hemos triangulado el sistema, vamos resolviendo de abajo a arriba:
3y=6 → y=6/3; y=2
2y-2z=-2 → 2.2-2z=-2; 4-2z=-2; -2z=-2-4; -2z=-6; z=-6/-2; z=3
x+y-z=0 → x+2-3=0; x-1=0; x=1

c) Se trata de un sistema de 2 ecuaciones no lineales con 2 incógnitas. Este tipo de sistemas hay que resolverlos siempre por sustitución. Despejamos una incógnita de la ecuación más sencilla y sustituimos en la otra:

x²+y²=18
x-y=0 → x=y
y² + y² = 18 → 2y² = 18 → y²=18/2 → y²=9 → y=√9 → y=3 e y=-3 ← Para cada solución de y, obtenemos el valor de x
si y=3 → x=y=3 → 1ª Solución: x=3, y=3
si y=-3 → x=y=-3 → 2ª Solución: x=-3, y=-3
Se trata de un sistema compatilbe indeterminado puesto que tiene más de 1 solución

d) Se trata de un sistema de 2 ecuaciones no lineales con 2 incógnitas. Este tipo de sistemas hay que resolverlos siempre por sustitución. Despejamos una incógnita de la ecuación más sencilla y sustituimos en la otra:

x+y=4 → x=4-y
xy=3
(4-y).y=3 → 4y – y² = 3 → y² -4y + 3 = 0 Resolvemos la ecuación de 2º grado.
y=(4±√(16-12))/2=(4±√4)/2=(4±2)/2 → y=(4+2)/2 e y=(4-2)/2 → y=3 e y=1
Para cada valor de y, encontramos el valor de x
si y=3 → x=4-y=4-3=1 → x=1 → 1ª Solución: x=1, y=3
si y=1 → x=4-y=4-1=3 → x=3 → 2ª Solución: x=3, y=1
Se trata de un sistema compatilbe indeterminado puesto que tiene más de 1 solución

Para resolver un sistema de inecuaciones lineales gráficamente tenemos que representar cada una de las inecuaciones.
Para resolver gráfcamente una inecuación, el primer paso es representar la recta.
x-3y≥2 → La recta será: x-3y=2 → -3y=2-x → y=(2-x)/-3 → y = (x-2)/3
esta recta tiene por pendiente m=1/3 y por ordenada en el origen n=-2/3
Para representar una recta necesitamos 2 puntos:
x=5 → y=(5-2)/3=1 → (5,1)
x=2 → y=(2-2)/3 = 0 → (2,0)
La recta divide el plano XY en 2 zonas. Sólo una de las 2 zonas será solución de mi inecuación. Pruebo un punto de una de las 2 zonas. Si ese punto verifica la inecuación, todos los que quedan del mismo lado que él verificarán la inecuación; si no lo verifica, ninguno de los que quedan del mismo lado la verificarán.
Cojo (0,0)
x-3y≥2 → 0-3.0 ≥ 2 → 0 ≥ 2 FALSO Los puntos que quedan del mismo lado de (0,0) no son solución, lo serán los del otro lado además de la recta puesto que el signo de la desigualdad es ≥

2x-y<1 → La recta será: 2x-y=1 → y=2x-1
esta recta tiene por pendiente m=2 y por ordenada en el origen n=-1
Para representar una recta necesitamos 2 puntos:
x=0 → y=2.0-1=-1 → (0,-1)
x=2 → y=2.2-1 = 3 → (2,3)
La recta divide el plano XY en 2 zonas. Sólo una de las 2 zonas será solución de mi inecuación. Pruebo un punto de una de las 2 zonas. Si ese punto verifica la inecuación, todos los que quedan del mismo lado que él verificarán la inecuación; si no lo verifica, ninguno de los que quedan del mismo lado la verificarán.
Cojo (0,0)
2x-y<1 → 2.0-0 < 1 → 2 < 1 FALSO Los puntos que quedan del mismo lado de (0,0) no son solución, lo serán los del otro lado

La solución gráfica será: