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Examen 1Ev2009p7-Problema

Aurora Lucas — Fri, 04 Dec 2009 08:38:36 +0000

Una madre y sus dos hijos tienen en conjunto 60 años; el hijo mayor tiene tres veces la edad del menor y la madre tiene el doble de la suma de las edades de sus hijos. Calcula las edades de la madre y de los dos hijos.

Solución:

Tenemos 3 incógnitas:

x: edad de la madre
y: edad del hijo mayor
z: edad del hijo menor

Estas incógnitas están relacionadas por una serie de ecuaciones:
x + y + z = 60
y = 3z
x = 2(x+y)

Con las 3 ecuaciones que relacionan las 3 incógnitas, resolvemos el sistema:

Solución: x=40años, y=15 años, z = 5 años

Examen 1Ev2009p4-Sistema de inecuaciones lineales

Aurora Lucas — Fri, 04 Dec 2009 08:13:16 +0000

Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones lineales:

(2x-3y)/4≤1

y-x/3 >2

Solución:

Para resolver un sistema de inecuaciones gráficamente, lo primero que tenemos que hacer es dibujar las rectas, ver cuál es el semiplano que verifica la inecuación en cada caso y luego marcar la zona común:

(2x-3y)/4 = 1; 2x – 3y = 4; 2x – 4 = 3y; y = (2x-4)/3

Para representar una recta necesitamos dos puntos cualquiera que verifiquen la ecuación de la recta: x=2, y=0; x=5, y=2

Ahora deberemos ver qué semiplano verifica la inecuación:

(0,0) → (2.0-3.0)/4≤1; 0 ≤ 1; OK → Todos los puntos del lado de (0,0) verifican la inecuación. También los puntos de la recta, puesto que es ≤.

Hacemos lo mismo con la 2ª recta:

y-x/3 = 2; y=2+x/3; y=(6+x)/3

Para representar una recta necesitamos dos puntos cualquiera que verifiquen la ecuación de la recta: x=0, y=2; x=3, y=3

Ahora deberemos ver qué semiplano verifica la inecuación:

(0,0) → 0-0/3 >2; 0 > 2; NO → Los puntos del lado de (0,0) no verifican la inecuación. Tampoco los puntos de la recta, puesto que es >.

Examen 1Ev2009P3- Sistemas de ecuaciones

Aurora Lucas — Thu, 03 Dec 2009 09:46:53 +0000

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y di de qué tipo son:

x+2y + 4z=3
2x-3y-2z=3
x + y – z=-1

x²-y²=9
x.y=20

Solución:

a) Utilizamos el método de Gauss:

x+2y+4z=3
7y+10z=3
5y=-5

x+2y + 4z=3
2x-3y-2z=3
x + y – z=-1

2f1-f2
f1-f3

x +2y+4z=3
7y+10z=3
y+5z=4

f2-2f3

y=-1
z=1
x=1

Solución: S.C.D. x=1, y=-1, z=1

b) Se trata de un sistema de ecuaciones no lineales, que deberemos resolver por sustitución:

x²-y²=9
x.y=20 → y=20/x; x²-(20/x)²=9; x²-400/x²=9; x⁴-400 = 9x²;

Nos queda una ecuación bicuadrada que resolvemos por cambio de variable: x²=z

z²-9z-400=0; Resolvemos la ecuación de 2º grado: z=(9±(81+1600)^1/2)/2 = (9±41)/2; z=25, z=-16

Deshacemos el cambio de variable:

Si z=25;x²=25; x=5, x=-5

Si z=-16; x²=-16; no tiene solución

Si x=5; y=20/5=4

Si x=-5; y=20/-5=-4

Solución: S.C.I: solución 1: x=5, y=4; solución 2: x=-5 y=-4

Sistemas de ecuaciones-20091p1EvP3

Aurora Lucas — Tue, 27 Oct 2009 09:38:02 +0000

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones indicando de qué tipo son:

3x + y/2 = 15
2/x + 3/y = 1

2(2x+y) – 3(3x-2y)=-34
x/2 – y/3 = 2

Solución

a) Lo primero que debemos hacer es eliminar los denominadores, poniendo común denominador:

6x + y = 30
2y + 3x = xy

Sistema de ecuaciones no lineales. Hay que resolver por sustitución

y=30-6x
2(30-6x) + 3x = x(30-6x)

60-12x+3x=30x-6x² → 2x² -13x + 20 = 0; x=(13±3)/4; x=4 y x=5/2

Si x=4 → y=30-6.4=6

Si x=5/2 → y=30 -6.5/2=15

Se trata de un sistema con dos soluciones: x=4, y=6 y x=5/2, y=15

b) Desarrollamos los paréntesis y quitamos los denominadores:

4x + 2y – 9x + 6y = -34
3x – 2y = 12

-5x+8y=-34
3x-2y=12

Sistema de ecuaciones lineales. Podemos resolver por sustitución o por reducción.
Si lo hacemos por reducción: F1+4F2 → 7x=14 → x=2; Sustituyendo en la 1ª ecuación: -5.2 + 8y= -34 ; y=-3

Es un S.C.D. Solución: x=2, y=-3

Problema

Aurora Lucas — Fri, 23 Oct 2009 17:37:10 +0000

¿Qué edad tienen un padre y un hijo si se sabe que hace 5 años la edad del padre era triple que la del hijo y que hace 10 años la diferencia del cuadrado de la edad del padre y el cuadrado de la edad del hijo era 40 veces la edad del hijo hoy?
Dato: √625 = 25

Solución

Tenemos 2 incógnitas: la edad de un hijo (x) y la edad de su padre (y)
Para resolver las dos incógnitas necesitaremos 2 ecuaciones.
Hace 5 años el hijo tenía x-5 y el padre y-5 y “la edad del padre era triple que la del hijo”→
3(x-5)=(y-5) ← 1ª Ecuación
Hace 10 años el hijo tenía x-10 y el padre y-10 y “la diferencia del cuadrado de la edad del padre y el cuadrado de la edad del hijo era 40 veces la edad del hijo hoy ( es decir, x )” →
(y-10)² – (x-10)² =40.x ← 2ª ecuación
Tenemos que resolver un sistema de 2 ecuaciones no lineales con dos incógnitas.
Este tipo de sistemas se resuelven por sustitución.
3x – 15 = y – 5 → 3x – y = -5 + 15 → 3x – y = 10
(y-10)² – (x-10)² =40.x → y² + 100 – 20y – (x² + 100 – 20x) = 40x → y² + 100 – 20y – x² – 100 + 20x – 40x = 0 → y²-20y-x²-20x = 0

Despejamos la y en la 2ª ecuación y sustituimos en la 1ª
y²-20y-x²-20x = 0
3x – y = 10 → y=3x-10
(3x-10)² – 20(3x-10) – x² – 20x = 0
9x² + 100 – 60x -60x + 200 -x² – 20x = 0
8x² -140x + 300 = 0 ← Simplificamos
2x² – 35x + 75 = 0 ← Resolvemos la ecuación de 2º grado
x=(35±√(1225-600))/4 → x=(35±√(625))/4 → x=(35±25)/4 → x=15 y x=5/2
Para cada valor de x, encontramos el valor de y:
si x=15 → y=3x-10=3.15-10=45-10=35
si x=5/2 → y=3x-10=3.5/2-10=15/2-10=-5/2 ¡Imposible! → No es solución

Solución: x=15 años, y=35 años

Problema

Aurora Lucas — Fri, 23 Oct 2009 17:35:42 +0000

Calcular las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su diagonal vale 17m y su superficie 120m2

Problema

Aurora Lucas — Fri, 23 Oct 2009 17:35:13 +0000

Para vallar una finca rectangular de 750m2 se han utilizado 110m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

Problema

Aurora Lucas — Fri, 23 Oct 2009 17:34:35 +0000

Cada 8 horas un trabajador produce 10 mesas de tipo A y 9 mesas de tipo B. En 10 horas produce 8 mesas de tipo A y 18 mesas de tipo B. Determinar el tiempo que tarda en producir cada tipo de mesa.

Problemas

Aurora Lucas — Fri, 23 Oct 2009 17:33:58 +0000

Un matrimonio tiene 3 hijos. La suma de sus edades dentro de 10 años será de 50 años. El mayor tiene la misma edad que la suma de los años de los otros dos. La edad del mayor menos la del pequeño es la edad del segundo. Determina cuáles son las edades de los 3 hermanos.

Sistemas de ecuaciones

Aurora Lucas — Fri, 23 Oct 2009 17:32:48 +0000

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

x+y-z=0 x-y+z=2 2x+y-4z=-8	x² + 2xy = 24 y² + xy = 5	2x+3y=8 4x+6y=4
x+y-2z=9 2x-y+4z=4 2x-y+6z=-1	x + y = 7 x² + y² = 25	x+y+z=2 2x+3y+5z=11 x-5y+6z=29