Aparecen las gráficas de 3 funciones:
La línea verde (x=1) corresponde a la línea de separación de los dos tramos de la función.
A la derecha de la línea verde, deberemos quedarnos con la representación azul ( y=(x+3)/(x-2) )
A la izquierda de la línea verde, deberemos quedarnos con la representación roja ( y= x³ – 2x² + x -1)

• DOMINIO

Se trata de una función racional, de modo que el único problema será el 0 del denominador:
x+4=0; x=-4
Dom f(x)={x ∈R excepto x=-4}

• MONOTONÍA
  • Calculamos f’(x)

f’(x)=((x²)’.(x+4)-x²(x+4)’)/(x+4)²=(2x.(x+4)-x².1)/(x+4)²=(2x²+8x-x²)/(x+4)²=(x²+8x)/(x+4)²

• • Calculamos f’(x) para obtener los posibles extremos relativos:

f’(x)=0; (x²+8x)/(x+4)²=0; x²+8x=0; x(x+8)=0
x=0
x+8=0; x=-8
Posibles extremos relativos: x=0, x=-8

• • Dividimos la recta real en intervalos teniendo en cuenta los ceros del denominador y los posibles extremos relativos y calculamos el signo de f’(x) en dichos intervalos.

(-∞,-8) f’(-10)=(100-80)/+ > 0 → f(x) CRECIENTE en este intervalo
(-8,-4) f’(-5)=(25-40)/+ < 0 → f(x) DECRECIENTE en este intervalo
(-4,0) f’(-1)=(1-8)/+ < 0 → f(x) DECRECIENTE en este intervalo
(0,+∞) f’(1)=(1+8)/+ > 0 → f(x) CRECIENTE en este intervalo

Puesto que en torno a x=-8 la función primero crece y luego decrece, se trata de un MÁXIMO
Puesto que en torno a x=0 la función primero decrece y luego crece, se trata de un MÍNIMO
Los puntos serán x=-8, f(-8)=(-8)²/(-8+4)=-16 → (-8,-16) MÁXIMO
x=0, f(0)=0²/(0+4)=0 → (0,0) MÍNIMO

• ASÍNTOTAS

Asíntotas Verticales
Son los ceros del denominador: x+4=0; x=-4
Calculamos los límites laterales para representar:
Lim_x→-4- x² / (x+4) =16/0^- = -∞
Lim_x→-4+ x² / (x+4) =16/0⁺ = +∞
Puesto que el orden del numerador es una unidad superior al orden del denominador, habrá asíntota oblicua:
Asíntota Oblicua
y=ax+b
a=lim_x→∞ f(x)/x =lim_x→∞ x²/(x+4) : x/1=lim_x→∞ x²/x(x+4)=lim_x→∞ x²/(x²+4x) = 1/1=1
b=lim_x→∞ f(x)-ax=lim_x→∞ x²/(x+4) – x = lim_x→∞ (x² – x(x+4))/(x+4)=lim_x→∞ (x²-x²-4x)/(x+4)=lim_x→∞ (-4x)/(x+4)=-4/1=-4

• PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

x=0 → f(0)=0²/(0+4)=0
Punto (0,0)

• REPRESENTACIÓN GRÁFICA

• TANGENTE EN x=1
  • Calculamos el punto x=1 → f(1)=1²/(1+4)=1/5

El punto es (1,1/5)
La ecuación de la recta tangente será: y=mx+n y debe cumplir que:

• • m=f’(x=1)=(1²+8.1)/(1+4)²=9/25
  • La recta debe pasar por el punto (1,1/5), es decir

1/5=9/25.1+n → 1/5-9/25=n → (5-9)/25=n → -4/25=n

• DOMINIO

Puesto que se trata de una función racional los únicos problemas serán los ceros del denominador: x²-1=0 → x²=1; x=√1; x=1, x=-1

• MONOTONÍA
  • Calculamos la derivada:

f’(x)=((x²+1)’(x²-1)-(x²+1)(x²-1)’) / (x²-1)²=
(2x(x²-1)-(x²+1).2x) / (x²-1)²=(2x³-2x-2x³-2x)/(x²-1)²=-4x/(x²-1)²

• • Igualamos la derivada a cero para obtener los posibles extremos relativos

f’(x)=0; -4x/(x²-1)²=0; -4x=0; x=0
Posible extremo relativo: x=0

• • Divido la recta real en intervalos teniendo en cuenta los posibles extremos relativos y los ceros del denominador y estudio el signo de la derivada en dichos intervalos:

(-∞,-1) f’(-2)=-4(-2)/+ > 0 → f(x) es CRECIENTE en este intervalo
(-1,0) f’(-0,5)=-4(-0,5)/+ > 0 → f(x) es CRECIENTE en este intervalo
(0,1) f’(0,5)=-4(0,5)/+ < 0 → f(x) es DECRECIENTE en este intervalo
(1,+∞) f’(2)=-4.2/+ < 0 → f(x) es DECRECIENTE en este intervalo

En torno a x=0 la función primero crece y luego decrece → es un MÁXIMO
x=0, f(x=0)=(0²+1)/(0²-1)=1/-1=-1

• ASÍNTOTAS

Asíntotas Verticales: Las A.V. son los ceros del denominador de la función:
x=1 y x=-1
Para representar debemos calcular los límites laterales, de modo que sepamos si en torno a las asíntotas, la función va a +∞ o a -∞
x=1
lim_x→1- (x²+1) / ( x²-1 )=2/0^- = -∞
lim_x→1+ (x²+1) / ( x²-1 )=2/0⁺ = +∞
x=-1
lim_x→-1- (x²+1) / ( x²-1 )=2/0⁺ = +∞
lim_x→-1+ (x²+1) / ( x²-1 )=2/0^- = -∞

Puesto que el orden del numerador es igual al orden del denominador, habrá asíntota horizontal y no oblicua. Estas asíntotas determinan a qué se aproxima la función cuando x tiende a +∞ o a -∞
Asíntota Horizontal:
y=lim_x→∞ (x²+1) / ( x²-1 ) = ∞/∞ Indeterminación
Puesto que el orden del numerador es igual que el del denominador, aplicamos la regla:
y=lim_x→∞ (x²+1) / ( x²-1 ) = 1/1 = 1 → y=1

• PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

f(x)=(x²+1) / ( x²-1 )
x=0 → f(0) = 1/1=1 → (0,1)
f(x)=0 → x²+1=0 → x²=-1 → x=√-1 Imposible

• REPRESENTACIÓN GRÁFICA

• TANGENTE EN x=2
  • Obtenmos el punto donde queremos calcular la tangente

x=2 → f(2)=(2²+1)/(2²-1)=5/3 → (2 , 5/3)
La ecuación de la recta tangente es y=mx+n
La tangente tiene que cumplir 2 condiciones

• • m=f’(x=2)=-4.2/(2²-1)²=-8/9
  • La recta tiene que pasar por el punto (2,5/3), es decir,

5/3=-8/9 ·2 + b; 5/3=-16/9 + b; 5/3+16/9=b; (15+16)/9=b; b=31/9

• DOMINIO

Puesto que se trata de un polinomio Dom f(x)={x∈R}

• MONOTONÍA
  • Calculamos la derivada:

f’(x)=12x³+12x²-24x

• • Igualamos la derivada a 0 para encontrar los posibles extremos relativos.

f’(x)=0 → 12x³+12x²-24x=0 → x(12x²+12x-24)=0
x=0
12x²+12x-24=0 → x²+x-2=0 → x=1, x=-2
Posibles extremos relativos: x=0, x=1, x=-2

• • Dividimos la recta real en intervalos teniendo en cuenta los extremos relativos y estudiamos el signo de la derivada:

(-∞,-2) f’(x)<0 → f(x) es DECRECIENTE en este intervalo
(-2,0) f’(x)>0 → f(x) es CRECIENTE en este intervalo
(0,1) f’(x)<0 → f(x) es DECRECIENTE en este intervalo
(1,+∞) f’(x)>0 → f(x) es CRECIENTE en este intervalo

Como en torno a x=-2 la monotonía pasa de decreciente a creciente, este punto es un MÍNIMO. f(-2)=-30
Como en torno a x=0 la monotonía pasa de creciente a decreciente, este punto es un MÁXIMO. f(0)=2
Como en torno a x=1 la monotonía pasa de decreciente a creciente, este punto es un MÍNIMO. f(1)=-3

• REPRESENTACIÓN GRÁFICA

• TANGENTE EN EL PUNTO DE COORDENADA x=-1
• Obtenemos el punto donde queremos calcular la tangente

x=-1, f(-1)=12(-1)³+12(-1)²-24(-1)=-11 → punto (-1,-11)
La recta tangente tendrá como ecuación y=mx+n y debe cumplir que:

• m=f’(x=-1)
• y=mx+n pasa por el punto (-1,-11), es decir -11=m.(-1) + n

m=12(-1)³+12(-1)²-24(-1)=24
-11=24.(-1)+n → n=13